1) Pas de question.
2)
Proble` me. Premi`erePartie.
a)Paruner´ecurrencee´videntesurn, on montre que le degre´ deTn`algea´tsen. n b) Soitanle terme de plus haut degre´ deTn, on a :an+1=2aneta0=1, doncan=2. c) Par re´ currence surn, on poseP(n) :∀pn, Tp(cosθ)=cospθ. P(0) est vraie, supposonsP(n), Tn+1(cosθ)=2 cosθTn(cosθ)−Tn−1(cosθ) D’o`u:Tn+1(cosθ)=2 cosθcosnθ−cos (n−1)θ, or, n+ 1 +n−1n+ 1−n+ 1 cos (n+ 1)θ+ cos (n−1)θ=2 cosθcosθ 2 2
donc cos (n+ 1)θ=2 cosθcosnθ−cos (n−1)θetP(n+ 1) est vraie. 3) La famille (Tnreibn´eselonstun,c’ecerabesaseltleelefunste)´echsontr´essdegraelrbceelilmali 0nN de cardinalN+ 1=dim (RN[X]). 4) L’applicationx→Tn(x)Tm(x) est continue sur [−1,e, on alors :1] , elle est donc borne´
|Tn(x)Tm(x)| 2 1−x
M 2 1−x
1 1 1 Or∼, l’applicationx→1]rus´egrableestint−1,1[ car riemanienne 1 2x→12 2 1−x 2 (1−x) 2 (1−x) 1 1 d’exposant.Parparit´e,l’applicationx→est inte´ grable sur ]−1,d,o’[1l’`uplapaticniox→ 2 2 1−x Tn(x)Tm(x) estint´egrablesur]−1,1[. 2 1−x 1π π Tn(x)Tm(x) 1 5)dx=cosnθcosmθdθ=(cos [(m+n)θ] + cos [(m−n)θ])dθ 2 x=cosθ2 −11−x0 0 1 0 sim=n Tn(x)Tm(x) dx=π 2sim=n. 1−x 2 −1
Deuxime Partie.
1 P(x)Q(x) 1) L’application (P|Q)→dxstbillee)),euI)4tivipesoaeriil´nendiefin´etbeshte´dedov(eimrio 2 −11−x a2 P(x) de manie` re claire. De plus (P|P)=0 entraıˆne∀a∈]−1,1[\{0}, dx=et0 , par continuite´ 2 −a1−x positivite´ , on en de´ duit quePels de ]admet tous les re´ −a, a[ comme racines, doncPest nul. L’application 1 P(x)Q(x) (P|Q)→dxest un produit scalaire. 2 −11−x
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