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Mathématiques 2006 TELECOM Management

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Examen du Supérieur TELECOM Management. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.
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1) Pas de question.
2)
Proble` me. Premi`erePartie.
a)Paruner´ecurrencee´videntesurn, on montre que le degre´ deTn`algea´tsen. n b) Soitanle terme de plus haut degre´ deTn, on a :an+1=2aneta0=1, doncan=2. c) Par re´ currence surn, on poseP(n) :pn, Tp(cosθ)=cospθ. P(0) est vraie, supposonsP(n), Tn+1(cosθ)=2 cosθTn(cosθ)Tn1(cosθ) Do`u:Tn+1(cosθ)=2 cosθcoscos (n1)θ, or,     n+ 1 +n1n+ 1n+ 1 cos (n+ 1)θ+ cos (n1)θ=2 cosθcosθ 2 2
donc cos (n+ 1)θ=2 cosθcoscos (n1)θetP(n+ 1) est vraie. 3) La famille (Tnreibn´eselonstun,cecerabesaseltleelefunste)´echsontr´essdegraelrbceelilmali 0nN de cardinalN+ 1=dim (RN[X]). 4) L’applicationx→Tn(x)Tm(x) est continue sur [1,e, on alors :1] , elle est donc borne´
|Tn(x)Tm(x)| 2 1x
M 2 1x
1 1 1 Or, l’applicationx→1]rus´egrableestint1,1[ car riemanienne 1 2x12 2 1x 2 (1x) 2 (1x) 1 1 dexposant.Parparit´e,lapplicationx→est inte´ grable sur ]1,d,o[1l`uplapaticniox→ 2 2 1x Tn(x)Tm(x) estint´egrablesur]1,1[. 2 1x   1π π Tn(x)Tm(x) 1 5)dx=coscosmθdθ=(cos [(m+n)θ] + cos [(mn)θ])2 x=cosθ2 11x0 0 10 sim=n Tn(x)Tm(x) dx=π 2sim=n. 1x 2 1
Deuxime Partie.
1 P(x)Q(x) 1) L’application (P|Q)→dxstbillee)),euI)4tivipesoaeriil´nendien´etbeshte´dedov(eimrio 2 11x a2 P(x) de manie` re claire. De plus (P|P)=0 entraıˆnea]1,1[\{0}, dx=et0 , par continuite´ 2 a1x positivite´ , on en de´ duit quePels de ]admet tous les re´ a, a[ comme racines, doncPest nul. L’application 1 P(x)Q(x) (P|Q)→dxest un produit scalaire. 2 11x
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