a)Paruner´ecurrencee´videntesurn, on montre que le degre´ deTn`algea´tsen. n b) Soitanle terme de plus haut degre´ deTn, on a :an+1=2aneta0=1, doncan=2. c) Par re´ currence surn, on poseP(n) :∀pn, Tp(cosθ)=cospθ. P(0) est vraie, supposonsP(n), Tn+1(cosθ)=2 cosθTn(cosθ)−Tn−1(cosθ) D’o`u:Tn+1(cosθ)=2 cosθcosnθ−cos (n−1)θ, or, n+ 1 +n−1n+ 1−n+ 1 cos (n+ 1)θ+ cos (n−1)θ=2 cosθcosθ 2 2
donc cos (n+ 1)θ=2 cosθcosnθ−cos (n−1)θetP(n+ 1) est vraie. 3) La famille (Tnreibn´eselonstun,c’ecerabesaseltleelefunste)´echsontr´essdegraelrbceelilmali 0nN de cardinalN+ 1=dim (RN[X]). 4) L’applicationx→Tn(x)Tm(x) est continue sur [−1,e, on alors :1] , elle est donc borne´
1 P(x)Q(x) 1) L’application (P|Q)→dxstbillee)),euI)4tivipesoaeriil´nendiefin´etbeshte´dedov(eimrio 2 −11−x a2 P(x) de manie` re claire. De plus (P|P)=0 entraıˆne∀a∈]−1,1[\{0}, dx=et0 , par continuite´ 2 −a1−x positivite´ , on en de´ duit quePels de ]admet tous les re´ −a, a[ comme racines, doncPest nul. L’application 1 P(x)Q(x) (P|Q)→dxest un produit scalaire. 2 −11−x