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Mathématiques 2007 Classe Prepa ATS Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur)

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Concours du Supérieur Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur). Sujet de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.
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Mathématiques
Durée : 3 heures.- Coefficient : 3 Les exercices sont indépendants. La calculatrice personnelle est interdite. Exercice 1 Rappel: la fonction arctan est une bijection strictement croissante devers , sa dérivée vérifieet Soit un entierfixé et les fonctions, définiessur par: et . 1) Calculeret montrer quepour une constanteà calculer en fonction dek. 2) Étudier les variations desur .En déduire lexistence dun unique réel solution de léquation. 3) On définit la suite réellepar . a-Montrer que. b-En déduire que c-Pourkpour que=1, déterminer 4) Montrer que(comparer et).
5) Montrer que
. En déduire que si on pose
, alors. 6) Donner un équivalent delorsquek( s'exprimant simplement entend vers fonction dek). Exercice 2 Les deux parties de cet exercice sont largement indépendantes. Partie I
Soient deux réelspetq. On considère la matriceNtelle que :
1) Calculer le polynôme caractéristiquede la matriceN. On rappelle qu'un polynômeadmet une racinedouble s'il existe un polynôme tel que :avec .
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2) Montrer que siest une racine double dealors estaussi une racine du polynôme dérivé. On suppose qu'il existe un réelracine double du polynôme caractéristique.3) Montrer que nécessairementpetqdoivent vérifier la relation (R). 4) Déterminer les plus petits entiers positifspetqqui vérifient (R) Partie II
Dans cette partie on prendsp=3etq=2. La matriceNest donc ici
1) Déterminer le polynôme caractéristiquede cette matriceN. 2) Déterminer les racineset dupolynôme etant la racine négative. Préciser leurs multiplicités. 3) Déterminer une base de, sous-espace propre deN.associé à la valeur propre 4) Déterminer une base de, sous-espace propre deN.associé à la valeur propre 5) Quelles sont les dimensions des sous espaces propreset .La matriceNest-elle diagonalisable ? (On précisera pourquoi.) 6) On poseoù estla matrice de l'identité. a) Calculer b) Calculer les valeurs propres et une base des sous-espaces propres de. c) Montrer queest la matrice d'une projection. d) Préciser les sous-espaces images et noyau de la matrice. Exercice 3 On rappelle que les fonctions ch, shsont définies par , ,et que On considère la fonction 2π-périodique définie sur [-π,+πSa série de[ par Fourier est. 1) Calculer. Donner son expressionà l'aide de. 2) Donner une primitive de la fonction. On pose. Calculer les coefficients, ,en fonction deet . 3) Justifier que la somme de la sérieexiste pour tout, et donner sa valeur pour . Calculeret donner son expression à l'aide de. 4) Calculeren fonction de. 5) Appliquer lidentité de Parseval et retrouver ainsi la somme calculée en 4).
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Exercice 4 Soit leplan muni d'un repère orthonormé
représentation paramétrique
. On considère la courbeLde
. Les points de cette courbe seront notés
en prenanttdans avecla convention quecorrespond à la limite de et enou 1) Montrer que la courbeLadmet une symétrie centrale par rapport à O. 2) En changeantten montrerque la courbeLadmet une autre symétrie et qu'ainsi on peut réduire l'étude de la courbe auxtde l'intervalle 3) Donner le tableau de variation conjoint des fonctionsxety sur l'intervalle 4) Donner sur votre copie le tableau de valeurs ci-dessous rempli en écrivant les résultats sous la forme de fractions écrites le plus simplement possible: t0 1 5) Préciser la limite dequandttend vers 0, puis quandttend vers 6) Représenter graphiquement la courbeLdans le repère orthonormé. (Choisir la longueur unité assez grande , de l'ordre de 8 à 10 cm). On placera les points, , ,ainsi que les tangentes en ces points. On donne et .Sur cette courbe on surlignera la partie correspondant aux valeurs du paramètre sur l'intervalle On considère l'applicationfdu plan privé de l'origine dans le plan qui au point M de
coordonnées
associe le point N de coordonnées
avec :
7) Déterminer l'ensemble C des points invariants de cette transformation, c'est à dire les points M du plan tels quef(M) = M. 8) Donner une représentation paramétriquede l'image parfde (La courbeLprivée de l'origine du repère) 9) Calculeret en déduire la nature de la courbe image.
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