Mathématiques 2007 Classe Prepa HEC (ECE) EDHEC Lille

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Examen du Supérieur EDHEC Lille. Sujet de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2007

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• Publié le: 02 juillet 2007
• Nombre de lectures: 52
• Langue: Français

Extrait

EDHEC 2007 ´ OPTION : ECONOMIQUE ´ MATHEMATIQUES

Exercice 1 t Pour toute matriceM´el´tdeemenM 2 (R),on noteMtrceriat´eosspanedelmaM,e´daledeinfi    a ba c t fac¸onsuivante:siM= alorsM=. c db d      1 00 10 00 0 On poseE 1 =, E 2 =, E 3 = etE 4 = 0 00 01 00 1 On rappelle queB= (E 1 , E 2 , E 3 , E 4 ) est une base deM 2 (R). t On noteϕacilnoit`iuquotatematricelpp’aMdeM 2 (R) associeϕ(M) =M+M . 1. a)Montrer queϕest un endomorphisme deM 2 (R). b) Ecrirela matriceAdeϕdansB. c)End´eduirequeϕest diagonalisable et non bijectif. 2∗n n−1 2. calculerAtourtou,peuqeriude´dnetendeN:A= 2A 3. a)Monterr que Imϕ(= VectE 1 , E 2 +E 3 , E 4 ),uis´pilqrtebaIm(meuidϕ) = 3. b)End´eduireladimensiondekerϕpuisd´etermineurenabesedekrϕ. c) Etablirque Imϕesseltesuocapsorpelava´i`esscorpaepre2rproaleu d)Donner,pourre´sumer,lesvaleurspropresdeϕainsi qu’une base de chacun des sous- espacespropresassocie´s.

Exercice 2 On admet que siZ 1 etZ 2 a`edrisee´d,sntiablevarieatosal´pseeecaxuedtnosfin´essieleuremmˆ probabilis´e,alorsleurcovariance,sielleexiste,estde´finiepar: Cov (Z 1 , Z 2 ) =E(Z 1 Z 2 )−E(Z 1 )E(Z 2 )

Onadmete´galementquesiZ 1 etZ 2 e.eestnullvoraaicnrolsuecrntdaalesd´ineneptnos Onconsid`eredeuxvariablesal´eatoiresr´eellesXetU´e(Ωilisobabceprd´niefiemeˆapseussemelr,A,P), ind´ependantes,Xsuivant la loi normaleN(0,1) etUusvinaltlaioidscr`eteuniformesru{−1,1}. On poseY=U Xet on admet queYenavseutellairbaoire´eatnsit`adenfie´d,e´uaelleeiurisss l’espaceprobabilis´e(Ω,A,P). 1.a)Enutilisantlaformuledesprobabilite´stotales,montrerque:

P (Y≤x([) = PU= 1]∩[X≤x]) + P ([U=−1]∩[X≥ −x])

b)Ende´duirequeYueiqsltiueˆmaolemX. 2.a)Calculerl’esp´erancedeUpuis montrer queE(XY) = 0 b)Ende´duirequeCov(X, Y) = 0. R x √ 2 +∞ 2 2 − 1 3. a)Rappeler la valeur deE(Xuetierenqd´e)deux e= 2π 2 0 2

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b)Montrer,grace`auneinte´grationparpartiesque Z Z A A 2 22 x Ax 4−3−2− 2 22 ∀A∈R + :x edx=−A e+ 3x edx 0 0 R x √ +∞ 3 2 4 − c)Ende´duirequel’inte´graledxx e2converge et vautπ. 2 0 2 4 d) Etablirfinalement queXmnuenemosopde`stq4eue’otdrerdE(X) = 3 2 2 4.a)Ve´rifierqueE(X Y) = 3 2 2 b)D´eterminerCov(YX ,) 2 2 c)End´eduirequeXetYsquealortrer.Monadnesetnnisape´desntponXetYne le sont pas non plus. d)Cetexerciceapermisdemontrerqu’unre´sultatclassiqueconcernantlesvariablesdiscr`etes estencorevalablepourlesvariabales`adensite´.Lequel?

Exercice 3 1. a)Montrer que pour toutx >0 :x−ln (x)>0  ln (x)  f(xsi) =x >0 b) Onpose alors x−ln (x)  f(0) =−1 D´eterminerl’ensembleded´efinitionDde la fonctionf. 2. a)Montrer quefest continue surD. 0 b) Montrerquefeuets´drevibael(`adroite)en0etqf(0) = 0. d 0 3. a)Justifier quefbaelreviusrd´steD\ {0}et calculerf(x) pour toutxdeD\ {0}. b)De´terminerlalimitedefen +∞. c) Dresserle tableau de variations def. 4. Etudierle signe def(x). R x 5.Pourtoutre´elxme´ldetnee´D,on poseF(x) =f(t)dt 0 1 a) MontrerqueFest de classeCsurDuipieudets´srseavirtaoisn. R x lnt b)D´eterminerlimdt. 1t x→+∞ R x lnt c)End´eduirelimdtpuis limF(x).. 1 t−lnt x→+∞x→+∞ Proble`me Onlanceunepie`cee´quilibr´ee.(laprobabilite´d’obtenir”pile”etcelled’obtenir”face”e´tanttoutes 1 deuxe´gales`a)etonnoteZecnau`orno’litbotlenreepermilbaeraaiotri´laealeae´eggduluranavl 2 ”pile”. ∗ Apre`scettes´eriedelancers,siZa pris la valeurk(k∈N), on remplit une urne dekboules num´erot´ees1,2,∙ ∙ ∙, k,puis on extrait au hasard une boule de cette urne. On noteX`eprapsliretea´ee´detirc´corrudee´egaleal´eatoiredaloblunumue´oravleabliaarus.desseci- 1.Onde´cidedecoderl’e´v´enementobtenirun”pile”’1lrtaep´ve´menetneobtenir un << ”face”par 0. On rappelle que la fonctionrandomrenvoie, pour un argumentkde typeintegero(u`kgnee´isd unentiersup´erieuroue´gal`a1)unentierale´atoirecomprisentre0etk−1. EDHEC˙e˙2007 Page2/ 4

a)Compl´eterleprogrammesuivantpourqu’ilaffichelavaleurpriseparZre`emierpaledsrol partiedel’expe´riencede´criteci-dessus. Program edhec2007 ; Var z,hasard :integer; begin randomize ;z :=0; repeat z :=.........; hasard :=.........; until (hasard=1); writeln(z) ; end. b)Quelleinstructionfaut-ilrajouteravantladerni`erelignedeceprogrammepourqu’il simulel’exp´erienceal´eatoirede´critedansceprobl`emeetaffichelavaleurpriseparla variableal´eatoireX?   k 1 1 ∗ 2.Etablirlaconvergencedelas´eriedetermege´n´eral(k∈N). k2 3. Rappelerla loi deZsniaeuqi.eaicnvaraeetsrancsp´esone ∗ ∗ 4. a)Pour tout couple (i, k) deN×N,mrreentirep´adlbabotiliP´e [Z=k] (X=i) +∞ P  k ∗ 1 1 b)Ende´duireque∀i∈N, P(X=i) =. k2 k=i +∞+∞+∞k+∞ P PP PP c)Onadmetdanscettequestionque=.V´erifierqueP(X=i) = 1 i=1 k=i k=1 i=1i=1   i−1 1 5. a)Montrer que, pour tout entier naturelinon nul, on a :iP (X=i)≤ 2 b)Ende´duirequeXeunes`edposec.renase´p P c) Montrer,en admettant qu’il est licite de permuter les symbolescomme dans la question 4c), que 3 E(X) = 2 6.a)Utiliserlere´sultatdelaquestion5a)pourmontrerqueXa un moment d’ordre 2. P b) Etablir,alors, toujours en admettant qu’il est licite de permuter les symbolescomme dans la question 4c), que +∞   k X   1 1 2 E X= (k+ 1) (2k+ 1) 6 2 k=1

∗ c)D´eterminerlesre´elsa, betctels que :∀k∈N, (k+ 1) (2k+ 1) =ak(k−1) +bk+c. 11 2 d)End´eduirelavaleurdeE(Xuerqfie)etv´eriV(X.) = 12 7.a)Ecrirel’ine´galit´edeBienayme´-Chebychev,pourlavariableX. 11 b)Ende´duireP(X≥3)≤ 27 8. Onse propose de calculer P(X= 1),P (X= 2) et P(X≥3). n P k−1 a) Ecrireexplicitement en fonction dexetnla sommex(ntureernaentintungian´dsel k=1 non nul etx.1)dentre´eiffldee´rnu n P  R n k 1/2 ∗ 1 1x b)End´eduireque:∀n∈Nln (2): =−dx k2 01−x k=1

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