Exercice 2 Pre´liminaire On donne : 0,69<ln 2<0,70. Onconside`rel’application: 2 g+: ]0;∞[→R, x7→g(x) =x+ lnx 1. Montrerqueg+est continue et strictement croissante sur ]0;∞deslimitesmrnireele[dte´etg en 0 et en +∞ 2.Montrerquel’e´quationg(x) = 0, d’inconnuex∈]0; +∞[, admet une solution et une seule. On noteαuqseu’inl´eteetecndioutol.noitauq 1 3. Montrer:< α <1 2
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Partie A 1 On noteI=,er’lpalpocsndie`1onetication: 2 1 1 2 f:I→R, x7→f(x) =x−x−lnx 4 4 1. a)Montrer quefest strictement croissante surI. 1 1 b) Montrer:< f< f(1)<1. 2 2 c)End´eduire:∀x∈I, f(x)∈I. 2.Onconside`relasuiter´eelle(un)´dfieinperau0= 1 et, pour toutn∈N, un+1=f(un). n∈N a) Calculeru1 b) Montrer:∀n∈N, un∈I c) Montrerque la suite (unisroecd´ste)astn.e n∈N d) Montrerque la suite (unr´leleeitimsteeuqtelasevnocegre)α. n∈N
Partie B Onconside`rel’application: ∗y F:R×R→R,(x, y)7→F(x, y) =x e+ylnx + 1∗ 1. a)Montrer queFest de classeCsurR×Retcalculereldse´ir´veepsraere`imerpselleitesd + ∗ Fen toutpoint (x, y) deR×R. + b) MontrerqueFa’didenumire`alaetunadmombreuqituteeniopirctonl’prexeunsuelq r´eelα. 2. Est-cequeF?admet un extremum local
EXERCICE 3 1.Onconside`rel’applicationf:R→Re´lerbrentmotruoepouefinid´xpar : −x f(x) =esix >0 f(x) = 0six≤0 Montrer quefensit´edeprobabi´til.eetsnude Onconside`reunevariableale´atoireXadmettantfurdepo´e.nsit 2.Onde´finitlavariableal´eatoirediscr`eteYva`aurlenadssN:suivanteafalnoc¸ed ?l’´ev´nemene(tYenemenv´´el’aleg=)0se´t(tX <1) ?pour tout nombre entier strictement positifnve´l’,ene´tnem(Y=ne´enemtnst)ega´eall`ev’´ (n≤X < n+ 1). 1 −n a) Montrer,pour tout entier natureln: P(Y=n1) =−e e b)Montrerquelavariableale´atoireYealerisecr´nptodenoiruq´mte´goeeloiitun+1su parame`tre. Ende´duirel’esp´eranceetlavariancedeY.
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c)Recopieretcomple´terleprogrammeci-dessouspourqu’ilsimulelavariableale´atoireY program eml2007; var y :integer; u :real; begin randomize ; ... u :=random; y :=; while... do ... ... ... writeln(’y vaut ’, y); end. 1 3. SoitU(une variable de Bernoulli telle que PU= 1) =P(U= 0) =. 2 Onsupposequelesvariablesale´atoiresUetY.sdnepetnaontind´es Soitlavariableal´eatoireT= (2U−1)Y2seriotae´lrpdo,lesariabesvauitdU−1 etY. Ainsi,Tsdursanevunsteariableal´eatoirdesirce`eta`avelZ, l’ensemble des entiers relatifs. a)Montrerquelavariableale´atoireTaeeunetdmcnare´pseE(T) et calculerE(T) 2 2 b)Ve´rifierqueT=Y Ende´duirequelavariableal´eatoireTadmet une varianceV(T) et calculerV(T) c) Pourtout nombre entier relatifntili,(Pe´lccaerulprlaabobT=n). 4.Soitlavariableale´atoireD=X−Y. On noteFDtrape´reednoitiaflndioctonD. a) Justifier:∀t∈]−∞; 0[, FD(tet :) = 0∀t∈[1; +∞[, FD(t) = 1. b) Soitt∈ne´ve´’lremirpxE;1[.[0t(enemD≤te´enemtneded´sveail’`a)s(n≤X≤n+t), n∈N c)Pourtoutnombrer´eelt∈[0; 1[ et pour tout nombre entier naturelnbaroaprlet´libiucelc,la P (n≤X≤n+t). −t 1−e d) Montrer:∀t∈[0; 1[, FD(t) = −1 1−e e) MontrerqueDesnetuiravelbae´laiotasienedunerinrmtee´D.e´tisneda`ere´tdeD.