Mathématiques 2007 Concours ENI GEIPI

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Concours du Supérieur Concours ENI GEIPI. Sujet de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2007

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 09 mars 2008
• Nombre de lectures: 76
• Langue: Français

Extrait

NOM :

Epreuves communes GEIPIENI Mercredi 9 mai 2007

SUJET 2MATHEMATIQUES

Date de naissance :

Note :

PRENOM :

N° Inscription :

Lesujet2comporte7pagesnum´erot´eesde1`a7 EXERCICE I - (10 points) Donnerlesr´eponsesdesquestionsI-1-,I-2-etI-3-danslecadrepr´evuci-dessous

x Soit la fonctionfusrd´efinieRpar :f(x) = (1−x)e. ~ ~ On noteC f perebruoatnese´rdetiveaclfonohe´mrre`ptroeoptrrnpanuere´a`deplaansl(O, i, j).

I-1-a-Donner les limites def.ontiinfie´dedeniamodnrnesdesoauxbo I-1-b-´endEqeeuudrifadmet une asymptoteΔau voisinage de− ∞dont on donnera une e´quation. 0 0 I-2-a-renimeretD´f(x)u`ofstlad´eriev´eedef. I-2-b-etrlleabdeauarsvitaidsnoeCmolpe´etf. I-3-a-etnenu´enireetmrDe´tangdelationequaT 1 au pointAd’abscisse1de la courbeC f et une e´quationdelatangenteT −1 au pointBd’abscisse−1. I-3-b-Expliquer pourquoi l’on peut affirmer que les tangentesT 1 etT −1 sont perpendiculaires.

I-1-a- limf(x) = x→−∞ 0 I-2-a-f(x) =

x −∞ I-2-b- 0 f(x)

f(x)

I-3-a-T 1 :

REPONSES A L’EXERCICE I

limf(x) = :I-1-b- Δ x→+∞

I-3-b-T 1 etT −1 sont perpendiculaires car

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T −1 :

+∞

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EXERCICE I - (suite) Donnerlesre´ponsesauxquestionssuivantesdel’exercicedanslecadrepr´evu`alapage3

I-4-edditulaersipoontisnOorpeesope´’dC f aprrpaoptra`T −1 .

Pourcela,onconsid`erelafonctiong´dfieinseruRpar :

µ ¶ x+ 3 x g(x) = (1−x)e− . e

0 000 00 I-4-a-inerterme´Dg(x)etg(x)ou`getgsededre`imerpnocesteed´estlones´eiverg.

00 00 I-4-b-Etudier le signe deget le sens de variation degecr´eris.Pedelrualavg(−1).

0 Etudier le signe deget le sens de variation degcril´seeaPlrav.rdeueg(−1).

Enfin donner le signe deg.

I-4-c-Indiquer alors la position de la courbeC f nteangepparraptala`troT −1 .

I-5-Tracer l’asymptoteΔ, les tangentesT 1 etT −1 et la courbeC f . Pourtracercescourbes,onconsid`ereralesvaleursapproch´eessuivantes: 1 e≈2,7et≈0,4. e

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0 I-4-a-g(x) = 00 g(x) =

I-4-b-

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REPONSES A L’EXERCICE I (suite)

x

00 signe deg(x)

0 sens de variation deg

0 signe deg(x)

sens de variation deg

signe deg(x)

−∞

I-4-c-Position deC f orppraarpa`tT −1 :

I-5-

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~ O ı~

+∞

0 g(−1) =

g(−1) =

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EXERCICE II (4 points) Donnerlesr´eponsesa`cetexercicedanslecadrepre´vua`lapage5 Pour descendre du sommetSursontla,desskietie´’dmeopssbilitnomengadenu’pretnurpsrueisulr-pa cours.Ilsdoiventimp´erativementpasserparl’undesdeuxrestaurantssetrouvanttouslesdeux`a2200 me`tresd’altitude.Lesdeuxrestaurantsnesontpassitu´essurlemˆemeversantdelamontagne.Onles nommeR 1 etR 2 . Apre`slapauserepas,pouratteindrelevillageVntsouxdeetisqu100md’alrouve`a1sekseiruitutedl, possibilite´s:ilspeuventdescendredirectementauvillageoufaireunehalteaurestaurantR 3 qui se trouvea`1800md’altitude,pourprendreuncaf´e. 1 Laprobabilit´equelesskieurschoisissentdepasserparR 1 ela`e´agste . 3 3 En partant deR 1 la`eaegse´tgetauvillarectemenedneidtnsruecsedleuekisslibieqt´roba,lap . 4 2 En partant deR 2 gaeeivllageltse´`atnuaetemricenedtcendsdesieuresskleuqe´tilibaborpla,. 3 S 5km 4km R 1 R 2 4,5km 4km R 3 6km 5,5km 2km V

II-1-e´etlra’brererrp´esentanttouslesjartpsteissoselbsoduetmmplomCSau villageV. II-2-a-´eteD´eitbalirpborealmrniP 1 aurant´eaurestieskeselqufacnutnennerpsruR 3 , sachant qu’ilsontd´ejeun´eensembleaurestaurantR 1 . II-2-b-roaprlnet´libibaeimrete´DP 2 seruruattnanentprenf´eauncaeuelquesrssikR 3 . II-2-c-´eDrmteerinalrpbobalitie´P 3 tnaruatesurean´euejd´ntquelesskieursaieR 1 , sachant qu’ils ontprisuncafe´aurestaurantR 3 . II-3-molirte`ecnaknesesLstdistostn:nestopniesdiff´eresentrelSR 1 = 5,SR 2 = 4, R 2 R 3 = 4,5,R 1 R 3 = 4,R 3 V= 2,R 1 V= 5,5,R 2 V= 6(cf. figure ci-dessus). SoitDnatsidaltnatneselearepruourcpaceailbvaralepr´irereatoeal´sskieurspouralledru sommetSau villageV. D´eterminerlaloideprobabilit´edelavariableal´eatoireD.

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II-1-

II-2-a-

II-2-b-

II-2-c-

II-3-

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REPONSES A L’EXERCICE II

1 R 3 V

R 1 1 3 3 4 V S V

P 1 =

P 2 =

P 3 =

x i

P(D=x i )

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R 2 1 R 3 V

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EXERCICE III - (6 points) Donnerlesre´ponses`acetexercicedanslecadrepr´evu`alapage7

~ Onseplacedansl’espacerapport´e`aunrepe`reorthonorme´(O;k~ı, ~ ,).

Onconsid`erelestroispointsnonaligne´sA,B,Cdrnocsooelrupsrann´es,dovantsuis:een´

A0 ;(1 ;−1)

B(3 ;−2)1 ;

et le pointEee:sdecoodrno´nE(4 ;−1 ;−2).

C(2 ;−2 ;−1),

III-1-a-Montrer que la droite(CE)tsenogohtroadale`aleitro(AB)ladae`teorti(AC).

III-1-b-eriu´enuauqenoitrtcasi´eneenpldunad´edEnPpassant parA,BetC.

III-1-c-Calculer la distanced(E;P)du pointEau planP.

III-2-sponamareq’´tiualedsordarte´euqieterD´itemedesy`tursnimen(AE).

III-3-Oneralrdioeotcsndie`Deseu:tse´maqirttionspared’´equasnsy`tmednout  x= 0   D: y= 2 +t t∈R   z=−1 +t

III-3-a-Donner un pointJet un vecteur directeurw~deD.

III-3-b-Expliquer pourquoi la droiteDest contenue dans le planP. −−→ III-4-a-te´DimreepoinerlntMdeDtels que les vecteursEMet~v1 ;1)(0 ;soient orthogonaux.

III-4-b–nEde´danstcereuidilad(E;D)du pointEa`aldroiteD.

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