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Mathématiques 2009 ENAC

18 pages
Examen du Supérieur ENAC. Sujet de Mathématiques 2009. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2009 sur Bankexam.fr.
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´ ECOLE NATIONALE DE L’AVIATION CIVILE ANNEE 2009
CONCOURS DE RECRUTEMENT D’ELEVES PILOTES DE LIGNE
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Duree : 2 Heures ´ Coefficient : 1
Ce sujet comporte : 1 page de garde, 2 pages (recto-verso) d’instructions pour remplir le QCM, 15pagesdetexte,nume´rote´esde1a`15.
CALCULATRICE AUTORISEE
ECOLE NATIONALE DE L’AVIATION CIVILE
EPL/S 2009
´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ` A LIRE TRES ATTENTIVEMENT L´epreuvedemathe´matiquesdececoncoursestunquestionnairea`choixmultiplequiseracorrige ´ automatiquementparunemachine`alectureoptique.
´ ´ ATTENTION, IL NE VOUS EST DELIVRE QU’UN SEUL QCM
1)Vousdevezcollerdanslapartiedroitepre´vuea`ceteet,le´tiquettecorrespondanta`le´preuve que vous passez ,cest-a`-dire´epreuvedemathe´matiques(voirmode`leci-dessous).
´ POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES
Pourpermettrelalectureoptiquedele´tiquette,letraitverticalmat´erialisantlaxedelectureducode abarres(enhauta`droitedevotreQCM)doittraverserlatotalit´edesbarresdececode. ` EXEMPLES : BON
MAUVAIS
MAUVAIS
2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3)Utilisezlesujetcommebrouillonetneretranscrivezvosr´eponsesqua`ˆetlusoigneu-pres vous re re sement. 4)VotreQCMnedoitpasˆetresouill´e,froiss´e,pli´e,e´corne´ouporterdesinscriptionssuperues,sous peinedeˆtrerejete´parlamachineetdenepasˆetrecorrig´e.
5)Cettee´preuvecomporte36questions,certaines,denum´eroscons´ecutifs,sontli´ees.Lalistedes questionsli´eesestdonn´eeavantlenonce´dusujetlui-mˆeme. ´ Chaquequestioncomporteauplusdeuxr´eponsesexactes. 6)Achaquequestionnum´erote´eentre1et36,correspondsurlafeuille-re´ponsesunelignedecases quiportelemeˆmenume´ro.Chaquelignecomporte5casesa,b,c,d,e. Pourchaquelignenume´rote´ede01`a36,vousvoustrouvezenfacede4possibilite´s: soitvousde´cidezdenepastraitercettequestion, la ligne correspondante doit rester vierge. soitvousjugezquelaquestioncomporteuneseulebonner´eponse vous devez noircir l’une des cases a, b, c, d. soitvousjugezquelaquestioncomportedeuxr´eponsesexactes, vous devez noircir deux des cases a, b, c, d et deux seulement. soitvousjugezquaucund´sespropose´esa,b,c,dnestbonne, e es repon vous devez alors noircir la case e. Encasder´eponsefausse,aucunepe´nalit´eneseraapplique. ´ 7) EXEMPLES DE REPONSES Question 1 : 1 2 + 2 2 vaut : A) 3 B) 5 C) 4 D) -1 Question 2 : le produit ( 1)( 3) vaut : A) -3 B) -1 C) 4 D) 0 Question3:Uneracinedele´quation x 2 1 = 0 est : A) 1 B) 0 C) -1 D) 2 Vous marquerez sur la feuille reponse : ´
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a
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b
b
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c
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d
d
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Concours EPL Epreuvedemathe´matiques
Exercice 1 : On note R lensembledesre´els a R . Soit E l’ensemble des fonctions continues sur R . Onconside`realorslapplication ϕ a de´niepar: f E x R  x 6 = a ϕ a ( f )( x ) = x 1 a Z ax f ( t ) dt . Question 1 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
a) Si note la composition de deux applications, ( E ) est un groupe. b) Si + note la somme de deux applications, ( E +)estungroupecommutatifd´el´ement neutre Id E : x 7→ x . c) Si note la multiplication d’une application par un scalaire, ( E +   ) est un R espace vectoriel de dimension infinie. d) Si × note la multiplication de deux applications, ( E + × ) est un corps.
Question 2 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
a) f admet une primitive, car pour toute fonction g de´niesur R , x 7→ Z ax g ( t ) dt en est une primitive. b) ϕ a est prolongeable par continuite en a . ´ c) Pour tout f de E , ϕ a ( f )estprolongeableparcontinuite´en a en posant ϕ a ( f )( a ) = f ( a ). d) Pour tout f de E , ϕ a ( f )estprolongeableparcontinuit´een a en posant ϕ a ( f )( a ) = f ( a ). Nota Bene : Danstoutelasuite,silonaprolong´eunefonction ψ parcontinuite´en a , on continuera a appeler ψ cette prolongee. ` ´
Question 3 : Onpeutarmerd`eslorsque:
a) ϕ a d´enitunendomorphismede E , puisque ( f g ) E 2  ϕ a ( f g ) = ϕ a ( f ) ϕ a ( g ). b) ( f g ) E 2  ϕ a ( f + g ) = ϕ a ( f ) + ϕ a ( g ) et donc ϕ a est linaire. c) ϕ a ( E ) = E puisque ϕ a ( f ) est continue sur R . d) E ϕ a ( E ) puisque ϕ a ( f ) est continue sur R .
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Question 4 : Sion´etudielad´erivabilit´ede ϕ a ( f ) sur R , on peut affirmer que :
a) Si x 6 = a , f E , ϕ a ( f )estd´erivableen x etsad´erive´evaut f ( x ) x ϕ a a ( f )( x ). b) Si x 6 = a , f E , ϕ a ( f )estde´rivableen x etsade´rive´evaut f ( x ) f ( xa ) aϕ a ( f )( x ). c) Si g estlafonctiond´eniepar x R  g ( x ) = | x a | alors ϕ a ( g ) = g . 2 d) f E , ϕ a ( f )estd´erivableen a .
Question 5 : Si f est de classe C 1 sur R ,laformuledeTaylorYoungvanouspermettred´ecrireque
a) f ( x ) = f ( a ) f ( a )( a x ) + o ( x a ). b) f ( x ) = f ( a ) + f ( a )( x a ) + o (( x a ) 2 ). c) Si x 6 = a , x 1 a [ ϕ a ( f )( x ) f ( a )] = f 2( a )+ o (1). d) Si x 6 = a , x 1 a [ ϕ a ( f )( x ) f ( a )] = f 2( a )+ o ( x a ).
Question 6 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
a)Unth´eor`emeducourspermetdarmerquesi h estunefonctionde´niesur R , d´erivableentoutpointde R saufpeut-ˆetreenunpointr´eel a , et si de plus lim h ( x ) existe et est fini alors h estd´erivableen a . x a b) Si f est de classe C 1 sur R , alors comme ϕ a ( f ) est continue sur R ,d´erivableen toutpointdie´rentde a , et que lim [ ϕ a ( f )] ( x ) = f ( a ) ϕ a ( f )estd´erivablesur R . x a 2, c)Mˆemesi f est de classe C 1 sur R ,onnepeutpaseˆtrecertainque ϕ a ( f ) est de classe C 1 sur R . d) Si f est de classe C 1 sur R , il est certain que ϕ a ( f ) est de classe C 1 sur R .
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Question 7 : On che he ` voir si ϕ a est injective ou surjective. On peut dire que : rc a sa
a) Ker ϕ a = f E x R Z ax f ( t ) dt = 0 . b) Ker ϕ a = { f E x R  f ( x ) = f ( a ) } . c) ϕ a est injective car Ker ϕ a = { 0 E } . d) ϕ a estsurjectiveparcequepourunendomorphismedespacevectoriel,linjectivit´e est´equivalentea`lasurjectivit´e.
Question 8 : Soit b unre´el.Onconsid`ere g b : x 7 R |x R b | .Onveutr´esoudrel´equationdinconnue f : ϕ a ( f ) = g b .
a) S’il existe une solution alors elle est unique. De plus, si a = b alorsdapre`sla question 4, f = 2 g a . b) S’il existe une solution f alors elle n’est pas unique puisque toutes les fonctions de la forme f + f 0 o`u f 0 Ker ϕ a sont encore solutions. c) Si a 6 = b , il existe une solution puisque ϕ a est surjective. d) Si a 6 = b , il ne peut exister de solution puisque g b nestpasd´erivableen b .
Question 9 : Soit n un entier naturel. On appelle F = R n [ X ]lespacevectorieldespolynˆomesdedegre´s infe´rieursou´egaux`a n . On munit F de sa base canonique B = (1  X X 2      X n ). On appelle ψ a la restriction de ϕ a a` F ,cest-a`-direlapplicationtelleque P F ψ a ( P ) = ϕ a ( P ).
a) ψ a est un endomorphisme de F car i J 0  n K , ψ a ( X i ) = i +11 k X i 0 a k X i +1 k . = b) Ker ψ a ⊂ { 0 F } et ψ a est injectif. c) ψ a est surjectif puisque ψ a est injectif et dim F = n . d) ψ a nepeutpasˆetresurjectifpuisque ϕ a ne l’est pas.
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