Mathématiques commune 2005 Concours National DEUG

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Concours du Supérieur Concours National DEUG. Sujet de Mathématiques commune 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques commune 2005 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 08 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

SESSION 2005 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MATHEMATIQUES PARTIE I Durée : 2 heures Les calculatrices sontautorisées. NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. +∞ sint Exercice 1Calcul de l’intégrale de Dirichlet =dt . ∫ t 0 1. Existencede sin On définit sur [ 0,+∞ [ la fonctionf parf(x)=pour x>0 etf(0)=1. +∞ sint Justifier quefcontinue sur est [ 0,+∞ [ montrer que puis=dtest convergente.On ∫ t 0 A sint pourra intégrer par parties l’intégraledt ( A>1 ) . ∫ t 1 π ( 2n+1) 2 sint 2. Pour tout entier naturel non nuln, on définitetJ par:=dt et ∫ n nn t 0 π 2 sin(2n+1)t J=dt. ∫ n sint 0 π 2 sin(2n+1)t a.Montrer que=dt. ∫ n t 0   b.Soientx∈0; etkun entier naturel non nul.    2  Ecrire sincos(2kxet en déduire une relation) àsinus »l’aide d’une différence de deux « n sin(2n+1)x entre etcos(2kx) . ∑ sinx k=1

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c.CalculerJ. n 3. Lemmede Lebesgue 1 Soitgune fonction de classeCsur un intervalle [ a , boùaetbsont des réels aveca < b. b On pose, pour tout entier natureln,L=g(t) sin(nt) dt. Montrer en utilisant une intégration ∫ n a ( Ltend vers 0 lorsquentend par parties que la suite n ) vers +∞ .  π  1 1  π  4.On définit la fonction ϕ parsur 0,ϕ(x)= −pourx∈(0)0, et=0.     2  sinx  2  a..Donner le développement limité à l’ordre 1 en 0 de  π  b.Montrer queϕ0; .est dérivable sur    2  1  π  Onadmet pourla fin de l’exercice queest en fait de classeC0; (celase démontre sur    2  avec des calculs de développements limités). 5. Conclusion Montre limI−J=0 et en déduire la valeur de l’intégraleI. r que ( n n ) n→+∞ Exercice 2Quelques propriétésdes endomorphismes nilpotents.  nul.On not Soitneentier naturel non unM n \ )  le \ - espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordren. n M de M ) On dit qu’un endomorphismefde\ (respectivementune matrice n ( \ )  estnilpotent kk (respectivementnilpotente) s’il existe un entierktel quef=0 (respectivementM=0 ). 6. Etuded’un exemple  0 5 0    On considère la matrice A=0 0 0 .     2 3 0   a.Montrer queAest nilpotente. b.Déterminer la dimension du noyau deA. c.Calculer le polynôme caractéristique deA.Aest-elle diagonalisable ? 7. Etuded’endomorphismes nilpotents particuliers Les deux questions suivantes sont indépendantes.

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3 2 a.Soitfun endomorphisme nilpotent de\tel quef=0 etf≠0 . Comparer Keret Im, puis calculer la dimension deKer . n nn − 1 b.Soitfun endomorphisme nilpotent de\tel quef=0 etf≠0 . n n − 1 Soit unvecteur de\tel quef(x)≠0 . 2n−1n Montrer que la familleB= ( ,f(x),f(x),...,f(x) ) une base de est\écrire la puis matrice defdans cette base. 8. Diagonalisationdes matrices nilpotentes. Déterminer les matrices nilpote a.ntes de M n ( \ ) qui sont diagonalisables. M b.Application : Déterminer les matrices symétriques de n ( \ ) qui sont nilpotentes. Exercice 3Résolution d’une équation « intégrale » 9. Questionspréliminaires a.Résoudre sur\, l’équation différentielley''(x)+y(x)=0 . b. Soitgfonction continue sur une \ . Montrer avec soin que l’application x ϕ:6 ( x−t ) g(t) dtest dérivable sur\et calculer sa dérivée. ∫ 0 10. Application: Trouver toutes les fonctionsfcontinues sur\qui vérifient : x ∀ ∈\,f(x)+ ( x−t ) f(t) dt=1 (on pourra remarquer quef estdérivable et ∫ 0 déterminer (0)etf'(0) ). - Fin de l’énoncé -