Mathématiques commune 2006 Concours National DEUG

Vincent

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Concours du Supérieur Concours National DEUG. Sujet de Mathématiques commune 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques commune 2006 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 08 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

SESSION 2006 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MATHEMATIQUES PARTIE I Durée : 2 heures Les calculatrices sontautorisées. NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. * * * Les trois exercices sontindépendants. Exercice 1Etude d’une suite récurrente  1  On noteI l’intervalleSoit0; . ( u )  lasuite définie pour tout entier naturel non nuln par   n  6  3 1 u=u−2uetu=. n+1n n 1 10 3 On notef la fonction définie surIpar(x)=x−2x. 1.Etude de la convergence a.Déterminer les variations defsurIpuis comparer ( I ) etI. b.Déterminer la monotonie de la suite u ) . n c. Montrer que la suite ( u ) est convergente et déterminer sa limite. n 2.Théorème de Cesàro Soit ( v ) une suite définie pour tout entier naturel non nuln, qui converge vers un réell. n 1 On définit alors la suite ( )  pourtout entier naturel non nuln, par= ( v+v+...+v ) . n n1 2n n est la moyenne arithmétique desnpremiers termes de la suite ( v ) . n n a.Traduire à l’aide de quantificateurs le fait que la suite ( v ) converge versl. n

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b.Soit n  unentier naturel non nul, etp unentier tel que1≤ ≤n. Montrer que p 1 n ∑ k k −l≤v−l+maxv−l. n p<k≤n k=1 c.Conclure avec soin que si la suite ( v ) converge versl, alors ( ) converge aussi versl n n (ce résultat porte le nom de théorème de Cesàro). 3. Application à la recherche d’un équivalent de u ) n 1 1 a.Déterminer la limite de−lorsquextend vers 0. 2 2 3 x−2x ( ) 1 1  Endéduire la limite de la suite ( v ) définie parv= −. n n 2 2 u u n+1n b.Utiliser tous les résultats précédents pour donner un équivalent au voisinage de +∞ de la n suite ( u ) (on pourra simplifierv). ∑ n k k=1 Exercice 2Etude d’un endomorphisme sur l’espace des polynômes nun entier naturel, on note désigne\ [  le\-espace vectoriel des polynômes à coefficients n dans\, de degré inférieur ou égal àn. On définit sur \ [ , l’applicationf: \ [ →\ [ Xpar : n n ∀P∈\ [ X,f ( P(X) ) =X ( P(X)−P(X−1) ) . n 4.Résultatspréliminaires 2 a.Calculer ( 1 ) ,f ( X ) ,f ( X ) . n n−1 b. Si P(X)=a X+a X+...+a , aveca≠0 ,quel est le terme de plus haut degré du n n−1 0n polynômeP(X−1) ? c.SoitP ∈\ [ X vérifiantP(X)=P(X−On pose1) .Q(X)=P(X)−P(0) .Montrer que n Q(X) estun polynôme constant que l’on précisera. 5. Montrer quefest un endomorphisme de \ [ . n 6.Déterminer le noyau def, en déduire la dimension de l’image def. 7.Dans cette questionuniquement, on suppose que n=2 . a. Quelle est la base canonique de \ [ ? Ecrire la matrice de l’endomorphismef dans 2 cette base canonique. b.L’endomorphismefest-il diagonalisable ? 8.Etude de la diagonalisation dans le cas général Pour tout entier naturelk, on définit les polynômesPpar : k P(X)=1,P(X)=Xet pour tout k≥2 , P(X)=X1−X ) ( 2−X ) ... ( k−1−X ) . 0 1 k a.Montrer que la famille ( P,P,P,...,P ) est une base de \ [ . 0 1 2n n

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b.Soitkun entier naturel, déterminer un nombre réelctel que ( P ) =c P . k k k k c.Déterminer les valeurs propres def. L’endomorphismefest-il diagonalisable ? Exercice 3Résolution d’une équation différentielle 2 9.(On noteEdifférentielle) l’équationy'+(x−1)y=x. a. Résoudre (E) sur 0;+∞ [ . 2 e b. (Sachant que les solutions deE) sur −∞; 0 [  sontles fonctions 6 x+2+ +B, où x ∈\(, existe-t-il des solutions deE) définiessur\? Si oui, les expliciter. Fin de l’énoncé

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