Mathématiques de base 1 pour les STI/STL 2006 Tronc Commun Université de Technologie de Belfort Montbéliard

Aleth Chevalley

Description

Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Mathématiques de base 1 pour les STI/STL 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques de base 1 pour les STI/STL 2006 sur Bankexam.fr.

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• 2006

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 16 mars 2009
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Français

Extrait

MT 18

Fiches et calculatrice autorisées

Final

1 2 Exercice 1 ( 5 points) : Soit la suite (u n ) définie par u n = +avec n ³ 1 2 3n n

1) Montrer que la suite ( u n ) est monotone. 2) Calculerla limite de cette suite 3) Montrer que cette suite est bornée.

2 2 # 3.u n Exercice 2 ( 6 points) :Soit la suite définie par u 0 = 0 et pour tout n ³ 0 : u 1 n # 1 u # 4 n

1) Montrer que la suite ( u n ) est monotone. 2) Calculerla limite de cette suite et montrer que cette suite est bornée.

ch x Exercice 3 ( 5 points) :Soit la fonction f (x) =e

 A06

1) Donner le domaine de définition de cette fonction 2) Etudier les variations de la fonction f et calculer les limites 3) On notela courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point x = 0.

Exercice 4 ( 8 points) : On désigne par n un entier supérieur ou égal à 2 et on considère les fonctions, notées f n , 1 # n lnx qui sont définies pour x appartenant à l’intervalle ] 0 , +f[ par n ( x ) =  2 x

1) Calculer f ‘ n ( x ) et montrer que l’on peut écrire le résultat sous la forme d’un quotient dont le numérateur est : n – 2 – 2 n ln x 2) Résoudre l’équation f ‘ n ( x ) = 0. Etudier le signe de f ‘ n ( x ) 3) Calculer les limites def n en 0 et +ainsi que sa valeur maximale (en fonction de n) 4) Dresser le tableau de variation de f n

5) Calculer f n+1 ( x ) – f n dépend-elle de l’entier n ?( x ). Cette différence

Exercice 5 ( 8 points) : Intégrales ou primitives ( 3 questions indépendantes) 1 1) Donnerles primitives de 2 x(lnx) 2 1 1 % x1 dx 2 2 I 1 # 2) Montrerque puiscalculer 1 1 ò 2 x(x1)x x1 x(x # 1) # # 1

2 2 3) Calculer I = 2 2 x 1 % x dx ò 0 2 lnx 4) A l’aide d’une intégration par partie, calculer I = dx ò 3 3 x 1

Exercice 6 ( 8 points) :

% x % x 1/ 2 e e I dx On cherche à calculer 1 avec f ( x ) =sur l’intervalle [ 0 ; ½ ] ò 0 1 % x1 % x 1) a. Etudierles variations de f ( x ) sur [ 0 ; ½ ] 2 b. Démontrer que 1f(x) £ £ e 1 1 2 1 2 c. En déduire que x f(x)dx £ £ ò 0 24 12 e 2) 2 1x a. x Démontrer que 1 1 # # 1x1x % % 1 1 % x2 2 2 b. En déduire que #1 # dx I(1x).xe dx.f(x) ò ò 0 0 1 % x 2 c. Calculer 1 # J(1x).e dx ò 0 d. En déduire un encadrement de I