ExerciceI:Unproble`medeplacement. On se propose de comparer les deux placements suivants: –placerautauxd’int´erˆetrune somme 2Spendantt.seen´an –placerautauxd’int´erˆet2r. une somme 2Spendanttnnaes´e. 1.Expressionsdessommesobtenues`al’issuedetanne´seedlpca.tneme (a)Onplaceunesommede25francsautauxd’int´erˆetrneanantupendt-e-ondimeossplleumoseee´nqeD. `al’issuedel’anne´edeplacement? (b)D´eterminerlasommeS1(ttbneeuneo)taaud’uxa¸plntcat´tnieˆrerune somme de 25 francs durantt anne´es. (c) Onplace une somme deS´treeˆ2tni’dxuatuascnarfrpneadtnuneann´ee.Dequeloseldemmopsit-esn-o `al’issuedel’anne´edeplacement? (d)D´eterminerlasommeS2(trˆ´e2etxdaunt’ietbo)lanpeenuuttaan¸crune somme deSfrancs durantt ann´ees. (e)De´terminerenfonctionderomenllee´rerbtpinfie´delit´´egaarl’S1(t) =S2(t). 2.Etudedutempsd’e´galisationdessommesobtenuesenfonctionder. Onposepourtoutnombrere´elstrictementpositifr: ln 2 T(r) = ln (1 + 2r)−ln (1 +r) (a)D´eterminerlad´eriv´eeetlesensdevariationsur]0;+∞[ de la fonctionr→−7ln (1 + 2r)−ln (1 +r).
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(b)End´eduirelesensdevariationdeT(r) lorsquer+e0`adtıˆorc∞. (c)De´terminerleslimitesdeT(r) lorsquertend vers 0 et +∞tnedqeiuavel,en´tuT(r) lorsquertend vers 0.
ExerciceII:Probabilite´s. On rappelle que, six:rst´ndesreiresa,ole01tirc´teeemlbsrtercuonmnpomiegnnte +∞ X 1 n−1 nx= 2 (1−x) n=1 Uneexpe´rienceal´eatoireconsistea`lancerdeuxd´es´equilibre´ssimultane´ment,etl’onre´pe`teind´efinimentcette expe´rience. 1. Etudedu temps d’attente pour obtenir un double six. On noteT’onoo`ulntpobtierpmeruale`ireoderm´nu´exp’eellaecneireriotae´uaiqlentirtondeiaelbae´lvalaira foisundoublesix(c’esta`direou`lesdeuxd´esdonnentsimultan´ementunsix). (a)Quelleestlaprobabilit´eP(Tuolbu’dnruuq)1opnu`aobtesoitesixeeree´pxrpal`ime=enri?ce i`eme (b)Quelleestlaprobabilit´eP(T=nourquecesoit`al)apnqeeup,uo´preeicnex,re`eisfoaprlmire lesdeuxde´same`nentsimultan´ementunsix(n>1) ? (c)De´terminerlasommedelase´riedetermege´n´eralpourP(T=n) pourn>1. (d)De´terminerl’espe´ranceE(Tre)ladebaelavirtaiolae´T. 2.Etudedutempsd’attentepourqu’aumoinsund´eaitamene´unsix. 0 On noteTat´ealceenri´expeitbono’lu`oerioi`erpremurlantpoeairaaelbvaleindiqual´eatoirredolee’tnelun´m foisunsix(c’esta`direo`ul’undesdeuxde´saumoinsdonneunsix). (a)Quelleestlaprobabilite´pourqu’aucunsixnesoitobtenua`lapremi`ereexp´erience,etquevaut 0 P(T?= 1) 0ie`me (b)Quelleestlaprobabilit´eP(T=nala`tioseceurqou)pnisfo,erime`erp,uolrpaiencequeexp´er l’undesde´same`neunsix? 0 (c)De´terminerlasommedelas´eriedetermege´ne´ralP(T=n) pourn>1. 0 0 (d)D´eterminer(sousformedefractionirre´ductible)l’espe´ranceE(Tirtoeal´e)adblaivaealreT.