Mathématiques I 2000 Classe Prepa HEC (ECS) European School of Management

Description

Examen du Supérieur European School of Management. Sujet de Mathématiques I 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2000 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2000

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 68
• Langue: Français

Extrait

E.S.C.P. - E.A.P. 2000. Math 1, option scientifique.

LespartiesIIIetIVsontind´ependantesdespartiesIetII. Partie I Onconsid`erelafonctioninde´finimentde´rivableϕltuotee´rnie,pourd´efixde [0,1[, par : 1 ϕ(x) = √ . 1−x 1)e´leuortuotrPxde [0,1[ et tout entier naturelnte´,´eitaleg’´rlliab (2n)! 2n+1 (n)− ϕ(x(1) =−x) 2 n 4n! (n) (0) ou`ϕir´veed´esignelad´en-`imedeeϕ(avec, en particulier,ϕ=ϕ). 2)Pour tout entier naturelnteoteeltu´rxde [0,est´vaui´el’ligatsujrefiitne,[1 n Z k x n X C (x−t) 2 k k(n+1) ϕ(x) =x+ϕ(t) dt k 4n! 0 k=0 n+1 n+1 3)a)Pour tout entier naturelnCt´e:galiin´ere’lorvup,≤4 . 2n+2 x−t b)Pour tout couple (t, xstel´eere0queld)≤t≤x <in´egalit´es:0e´v,1selrefiir≤ ≤x. 1−t c)reuie,quurpouttoee´rlnE´ddexde [0,1[, on a Z x n (x−t) (n+1) limϕ(t) dt= 0 n→+∞ n! 0 4)lee´rtuotruoPxde [0,il´tere’le´agtronemd´[,1 +∞ k X 1 C 2 k k √ =x k 1−x 4 k=0 Partie II Onsedonneunespaceprobabilis´e(Ω,B, Pereusid`ite(nesuapsetecrnocno,ecSu).X n ) n∈IN de ∗ variablesale´atoiresinde´pendantesetdemˆemeloiqueX 1 ttleioe´attn´dfierape,icne 1 P([X 1 = 1]) =P([X 1 =−1]) = 2 n X On poseS 0 = 0 et, pour tout entier naturelnnon nul,S n =X k =X 1 +X 2 +∙ ∙ ∙+X n . k=1 Par exemple,S n ´sees(eanlt´eeralr’aaibtrsecpirsetpmospruotri)euanlecud´seepuntiart’dalpenac¸ sur un axe et partie de l’origine au temps0gauahcoeuq,iunseiquhaace`utsa`e´tinuenu’dtnat d’uneunit´e`adroiteavecune´egaleprobabilit´e. On note minRsuepellplee´it´td’unmenttieneparedivnoRde IN. Onposeaussi,pourtout´el´ementωde Ω,  ∗ minR ω siR ω 6=∅ R ω ={n∈IN/S n (ω) = 0}etT(ω) = 0 siR ω =∅ OnadmetqueT.eriotae´laelbarivanetues AinsiTttnedsa’etpmereltˆetrraipouemprrrieouetalr`a(etae´lriotud)eiculeo’irigenedalaptr ´evoqu´eeplushaut. Pour tout entier natureln, on noteE n ’lentnemee´´vE n = [T >n]∪[T= 0]. 1)Soitnun entier naturel non nul. On poseA n = [S n = 0] et, pour tout entier naturelktel que 0≤k≤n−1,    n \   A k = [S k = 0]∩[S k+1 6= 0]∩[S k+2 6= 0]∩. . .∩[S n 6= 0]= [S k = 0]∩[S i 6= 0] i=k+1

Ainsi, pour tout entierktel que0≤k≤n,A k ´enementaitl’´evres: hh ii Pourladernie`refoisavantl’instantnelucitrapalne`arigial’oest`ttsna’lnik. a)Pour tout entierktel que 0≤k≤nre’le´agil´tseiuvanteju,ifist P(A k ) =P([S k = 0])P(E n−k ) n X b)=e´1:dnEelirdu´eitaleg’´P([S k = 0])P(E n−k ) k=0 Onadmetque, si deux suites (a n ) n∈IN et (b n ) n∈IN esrmte`a,positifs ou nuls, sont telles queless´eriesdetermesg´ene´rauxa n etb n convergent, alors en posant, pour tout entier n X natureln,c n =a k b n−k meeretedra´eeng´lire´sal,c n ommev´erifiecnoevgreestsa k=0  ! ! +∞+∞+∞ X XX c n =a n b n n=0n=0n=0 2)lPoeetro´uurtxde [0,[,1t´eilage´’lrilbate´  ! ! ∞ ∞ X X 1 n n =P([S n = 0])x P(E n )x 1−x n=0n=0 3)a)Pour tout entier natureln, calculerP([S n = 0]). ` b)lerte´lAa’dideitrapalee´dne,Ieueeqirduourtou,pxde [0,1[, on a r +∞ X 1 +x n P(E n )x= 1−x n=0 c)mene[trnErameanquuetq´el’env´T= 0] est inclus dansE n pour tout entier natureln, montrer que l’on a :P([T= 0]) = 0. Ainsi,presquesuˆrement,laparticulecit´eeenexemple,revienta`l’origine.

Partie III Onconsid`eredanscettepartieunesuiter´eelle(a k ) k∈IN tleelltuotee´r,euqruopxde [0,1[, la +∞ X k k s´eriedetermege´n´erala k x.Pgeernvcolee´rtuotruoxde [0,1[, on notef(x) =a k xet l’on k=0 suppose que :  √  √ lim 1−x f(x) =π x→1 < +∞   √ X (p+1)k 1)a)Pour tout entier naturelperetd´,:rilimen1m−x a k x. x→1 < k=0 Z +∞ − (p+1)t e b)Pour tout entier naturelpe´rglaedelei’tnnvergencifierlaco,tsuj √ dt, et, en 0 t p utilisant le changement de variableu= 2(p+ 1)t, calculer sa valeur. c)e´tilagd´edEnl’´euire +∞ Z +∞ − (p+1)t X  √  e (p+1)k lim 1−x a k x= √ dt x→1 t < 0 k=0 2)ller´eeMontrerqueuop,uotrpaetcilpioatolnpomynleiaQ, on a : +∞ Z +∞ − t  √ X  e k k−t lim 1−x a k x Q(x) = √ Q(e )dt x→1 t < 0 k=0 2

3)Soithuotruorte´lefalctonndiofin´e,piexde [0,1[, par :  1 0 six∈[0,[ e h(x) = 1 1 six∈[,1[ x e Z +∞ − t e −t a)vnrealocdeleegcn´egr’intaleerifistJu √ h(e )dtet donner sa valeur. 0 t k b)Soitxeelde[0unr´,erdeualavtletmrnina[1E.dne´h(x) pourkassez grand, justifier la k k convergencedelase´riedetermeg´ene´rala k x h(x). +∞ Z   +∞ − t √ X e k k−t 4) Onadmet1mage´’lil:e´til−x a k x h(x) = √ h(e )dt x→1 t < 0 k=0 1 − Enutilisantcere´sultatpourx=euterreanneiteu’lorsque,lireq´edund,elntend vers n n X √ l’infini,a k uqe´tsea2ivalent`n. k=0 Partie IV Onconsid`ereunesuite(an) n∈IN nassete´diorcsleeed´rpositifs ou nulset, pour tout entier natureln, on pose : n X S n =a k k=0 √ Onfaitl’hypothe`seque,lorsquentend vers +∞,S n se´tqeuivalent`a2n. On va montrer qu’alors 1 a n .t`anelaviuqe´tse √ n On noterabxcleed’rer´unite`eineaptralx. 1)Soit (α, βocnuelpu)sr´eelsvdenombre0:e´irafitn< α <1< β. Pour tout entier natureln tel quen6=bαncetn6=bβnc, justifier l’encadrement S bβnc −S n n − bαnc S S ≤a n ≤ bβnc −n n− bαnc n 2)a)Soitγpontmeteictrlsee´rnuare´xuesittedeesrmeng´lrseilimetdsseussitif.D´etermine bγnc S bγnc et √ . n b)Soitεuotruop,nreitnetMof.tisiuerqrentrtcieesltnopetemunr´rutalenassez grand, on a √ √ 2(β−1) √ 2(1−α) −ε≤na n ≤+ε β−1 1−α √ 3)mil:ano’u´eduireqEndna n = 1. n→+∞ Partie V ` 1)a)seluse´rdidelAa’anslnusdobtetatsr,quandl’entierntarulepaesiertr´sp´eectned´dsereteenim n X ntnevdrels,uninfi’ivauieqn´edtnelP(kT >). k=0 b)End´reuneduivilae´uqenedtP(nT >). 2)reatoial´ebaelaviraLToss`pe?ncra´epseenuelle-t-ede 3)tourPotu´reelxde [0,’´egalitprouverl1,]:e´ +∞ X p n 2 P([T=n])x= 1−1−x n=0 4)Soitnun entier naturel. √ a)oDnn´dvereelal’ordreisiovuae`0edeganmepeopelt´milintnde la fonctionu7→1 +u. 3