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Mathématiques I 2001 BTS Informatique de gestion

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Examen du Supérieur BTS Informatique de gestion. Sujet de Mathématiques I 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2001 sur Bankexam.fr.
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BTS INFORMATIQUE DE GESTIONSESSION 2001 E2 : MATHÉMATIQUESI Durée : 3 heuresCoefficient : 2 ÉPREUVE OBLIGATOIRE Le (la) candidat (e) doit traiter tous les exercices.La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. L'usage des calculatrices est autorisé. Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
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EXERCICE N° 1(6 points)Partie A On donne les matrices suivantes(αetdésignant des réels) : 1 0 1 1 0 0 11 3 12 0    0 1 0 11 01 11 10 1     A=,B=,C=.     1 0 1 00 0 01α0 2 1     0 0 1 01 01 0β0 1 0     ... 0 1 1  ... 1 0 1   1)On admet queBC=.   ... 0 1 0   ... 0 1 0   Calculer les coefficients de la première colonne, en fonction deaetb. 2)Déterminerαettels queBC=A. 2 3)CalculerA. Que remarqueton visàvis de la matriceC? Partie B 1)Dessiner un graphe Gorienté, de sommetsa,b,c,d, dontla matrice adjacente estA. 2)a)Dresser la liste de tous les chemins de longueur 2 allant deajusqu’àc. b)Expliquer comment, en utilisant la partie A, on peut trouver sans en dresser la liste le nombre de chemins de longueur 2 allant jusqu’àc, et donner ce nombre. 3)Compléter le dessin de la question B)1),en utilisant une couleur différente, de manière à obtenir une représentation de la fermeture transitive du graphe G.
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EXERCICE N° 2(6 points)Partie A Dans une algèbre de Boole, on définitl’opérateur binaireΔparaΔb=ab+ab. 1) CalculeraΔ0,aD1etaΔa. 2)Etablir la table de vérité deaΔbmontrer que les couples et(a,b)lesquels on a pouraΔb=1 sont(1, 0)et(0,1). Partie B Dans cette partie,A,B,Cdésignent des variables aléatoires indépendantes telles que : Asuit la loi normalen( 50 , 7 ), Bsuit la loi de Poissonp( 5 ), Cdésigne le nombre de boule(s) rouge(s) obtenues au cours du tirage au hasard d’une boule dans une urne contenant 20 boules blanches etNboules rouges, toutes indiscernables au toucher. (Cprend donc soit la valeur 0, soit la valeur 1). Des variables booléennesa,betcsont définies de la façon suivante : a=1 siA> 59, b=1 siB4, c=1 siC= 1. 1)Calculer chacune des probabilités suivantes : 2 (les deux premiers résultats seront arrondis à10près et le dernier sera donné en fonction de N) a)p(a=1) ; b)p(b=1) ; c)p(c=1) . 2)a)Montrer quep(aΔb=1)0,45. Dans la question suivante, on pourra utiliser les résultats de la question 2) de la partie A). b)On suppose quep((aΔb)Δc=1)=0, 51et on posex=p(c=1). Montrer quex0, 55vérifie l’équationx+0, 45(1x)=0, 51. Résoudre cette équation et en déduire le nombreNde boules rouges.
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 EXERCICE N° 3(8 points)Les parties B et C peuvent être traitées indépendamment de la partie A. Partie A Une entreprise fabrique et commercialise un produit rare. Sa production mensuelle, qui ne peut excéder 7 tonnes, est notéeX(en tonnes) ; le coût total de cette production mensuelle est notéY(en MF). 6 On rappelle que1 MF =10F. 100Y 25 On poseZ= e. On a établi le tableau suivant : X1 2 3 4 5 6 Y19,2 20,1 27,5 32,2 40,6 57,3 Z25,33 24,43 18,17 15,06 10,765,52 3 1)Calculer, à10 près,les coefficients de corrélation linéaire entreX etY d’unepart, entreX etZd’autre part, et commenter les résultats obtenus. 2)Déterminer une équation de la droite de régression deZenX. 2  (Onarrondira chacun des coefficients à10près). 3)Utiliser le résultat de la question précédente pour obtenir une expression deYen fonction deX. Partie B On se propose, dans cette partie, d’étudier la fonctionf, définie pour toutxappartenant à l’intervalle [0 ; 7] parf(x)=10025 ln(314x) . 1)Montrer quefest croissante sur [0 ; 7]. 2)Tracer la courbe représentative def: 2 cm sur dansle plan rapporté à un repère orthogonal (unités l’axe des abscisses et 2 mm sur l’axe des ordonnées). Partie C On considère dans cette partie que la fonctionf, étudiée dans la partie B, est la fonction «coût total de production mensuelle » du produit rare fabriqué par l’entreprise évoquée dans la partie A. On a donc :f(x)=10025 ln(314x) ,avecxexprimé en tonnes etf(xMF.) en 1)Déterminer par le calcul à quelle production mensuelle correspond un coût de 50 MF ?  (Donnerla réponse au kg le plus proche). 2)Le prix de vente d’une tonne de produit est 9 MF. La recette mensuelle totale, en MF, fonction du nombre de tonnesxvendues, est donc donnée par :g(x)=9x. a)Tracer la droite représentantgsur le graphique précédent. b)Par lecture graphique, indiquer à quel intervalle la production mensuellex, en tonnes, doit appartenir pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
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CORRIGE DE L’ÉPREUVE OBLIGATOIRE – SUJET NATIONAL –SESSION 2001  QuestionCorrection Barème proposé Exercice IA)1) αβ0 1 1 α12 1 0   BC=. 1   β0 1 0   2α0 1 0 A)2) αβ=1  α=2 0,5 BC=Aα2=0. β=1 β=1  A)3) 2 0 3 1 0 1 1 1 2   A=;   2 0 2 1 1   1 0 1 0   2 On remarque queA=Cavec les valeurs trouvées pourαetβà la question précédente. B)1)  1  c d  B)2)a)D’après le calcul obtenu à la question A)3), il y a trois chemins de longueur 2 allant de0,5 aversc:aac;adc;acc.  B)2)b)1 2 Il suffit de calculer, dans la matriceobtenue à la question A)3), la somme des éléments de la troisième colonne : on trouve 7.  B)3)  1  c d
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Exercice IIA)1) aΔ0=a0+a1=a aΔ1=a1+a0=aaΔa=aa+aa=a+a=1 aΔbb=0b=1 Onconstate que A)2) a=0 01 aΔb=1(a,b)(1, 0),(0,1). a=10 1  B)1)a) A50 9= −Π = p(a=1)=P(A>59)=P>1(1, 29)0,10. 7 7 B)1)b) k=4 k 55 p(b=1)=P(B4)=e=0, 44. k! k=0  B)1)c)N p(c=1)=P(C=1)=N+20(nombre de cas favorables :N, nombre de cas possibles :N+20)  B)2)a)Avec le résultat de la question A)3) et puisque les deux variablesAetBsont indépendantes : p(aΔb=1)=p((a=1)etb=0)+p((a=0)et(b=1)), d’où : p(aΔb=1)=p(a=1)×1p(b=1)+p(b=1)×1p(a=1), soit :  p(aΔb=1)=p(a=1)+p(b=1)2p(a=1)×p(b=1)=0,10+0, 440, 088=0, 45 2 (à 10près).  B)2)b) Notonsy=p(aΔb=1). On a :p((aΔb)Δc)=0, 51y(1x)+(1y)x=0, 510, 45(1x)+0, 55x=0, 51 20x On en déduit :x=0, 6etN= =30.1x
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Exercice IIIa les résultats intermédiaires (non demandés) suivants :A)1) On X=3, 5σ=1, 708 X σ=21, 390rY=0, 953 XY X Y=32, 817σY=13,138⇒  ⇒ . = −= −  σXZ11, 930XrZ0, 989 1 = = Z16, 546σZ7, 061Les deux corrélations sont bonnes, l’ajustement deZenXétant toutefois meilleur que celui deYenX.  A)2)On écrit l'équation cherchée sous la forme classique=aX+bσXZ avec :a= =et4, 09b=Za X=30, 86.2 (σX) 1 L'équation cherchée est donc :Z= −4, 09X+30, 86. 100Y  A)3) 25 AvecZ=on déduite ,Y=10025×ln(Z), puis avec ce qui précède :1 Y=10025×ln(30,864, 09X).  B)1)4 100f'(x)=25=. 314x314x 1 Pourxappartenant à l'intervalle [0 ; 7], 4x28 et 314x>0.Sur [0 ; 7] ,f'(x)>0 et la fonctionfest strictement croissante.  B)2)Dessin. 1 2  C)1) 231e On résoutf(x)=50ln(314x)=2314x=ex=.(à peu près six 4 1 tonnes). Au kg le plus près, on trouve5903 kg.  C)2)a)Dessin. 1  C)2)b) L’entreprise réalise un bénéfice lorsque :g(x)f(x). Par lecture graphique, on trouve 1 l’intervalle [2,9 ;6,3].
O
y=g(x)
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2,9
y=f(x)
6,3
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