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Mathématiques I 2001 Classe Prepa B/L HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2001 sur Bankexam.fr.
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION Lettre et Sciences Sociales (BL) MATHEMATIQUES I Année 2001
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
On dispose denjetons numérotés de 1 àn,nOn tire, au hasardétant un entier strictement supérieur à 1. et sans remise, les jetons un à un.La suite(a1;a2;:::;an)des numéros tirés est aussi appelée permutation de lensemblef1; 2;:::;ng. Étant donné deux entiersketpvériant1< k < p < n, la suite(ak;:::;ap)se réduisant à (ak) dans le cas où kest égal àp, est appelée sous-suite de(a1;a2;:::;an)et son nombre déléments est appelé longueur de cette sous-suite. On admettra que cette expérience aléatoire peut être modélisée par la donnée de lunivers, ensemble des permutations def1; 2;:::;ng, muni de la tribu de ses parties()et de la probabilité uniformeP, ce qui signie 1 que, pour toute permutation!def1; 2;:::;ng, on a :P(f!g) =. n! SiXest une variable aléatoire dénie sur(; ();P), on noteE(X)son espérance etV(X)sa variance. SiXetYsont deux variables aléatoires dénies sur(; ();P), on noteCov(X;Y)leur covariance.
Préliminaire SoitXune variable aléatoire prenant ses valeurs dansf1; 2;:::;mgmest un entier strictement supérieur à 1. m P Montrer légalité :E(X) =P([X>k]). k=1
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Partie 1 :Première sous-suite croissante. Étant donné une permutation(a1;a2;:::;an)def1; 2;:::;ng, la première sous-suite croissante est dénie de la façon suivante : dans le casa1< a2< ::: < an, la première sous-suite croissante est(a1;a2;:::;an); dans le cas contraire,kétant le plus petit entier def1; 2;:::;n1gvériantak> ak+l, la première sous-suite croissante est(a1;:::;ak). SoitLla variable aléatoire dénie sur(; ();P)qui, à toute permutation!, associe la longueur de sa première sous-suite croissante. Par exemple, sin= 9et!3; 5; 4; 9; 6; 7; 8; 1)= (2;, comme2<3<5et5>4, on a :L(!) = 3.
1. (a)Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises parL? QuevautP([L=n])? 1 (b) Montrerque, pour tout entierkdef1; 2;:::;ng, on a :P([L > k]) =. Endéduire la loi deL. k! 2. Donner la valeur deE(L)sous forme dune somme et déterminer la limite deE(L) quandntend vers linni.
Partie 2 :Deuxième sous-suite croissante.
Étant donné une permutation(a;a;:::;a)def1; 2;:::;nget sa première sous-suite croissante(a;:::;a), 1 2n1k si celle-ci se termine paran(i.e. sik=n), on dit que la deuxième sous-suite croissante nexiste pas ; dans le cas contraire, la première sous-suite croissante de(ak+l;:::;an)est appelée deuxième sous-suite croissante de(a1;a2;:::;an). 0 SoitLla variable aléatoire dénie sur(; ();P)qui, à toute permutation!, associe 0 sil nexiste pas de deuxième sous-suite croissante, et la longueur de la deuxième sous-suite croissante, dans le cas contraire. 0 Par exemple, sin= 9et!3; 5; 4; 9; 6; 7; 8; 1)= (2;, la deuxième sous-suite croissante est(4; 9)et lon a :L(!) = 2.
0 0 1. Quellessont la plus petite et la plus grande des valeurs prises parL? QuevautP([L= 0])? 2. Onsuppose, dans cette question seulement, quenest égal à 3. 0 (a) Montrerque la loi du couple(L;L)est donnée par le tableau suivant : 0 LL1 2 3 0 00 1/6 1 1/61/3 0 2 1/30 0 0 (b) Donnerla loi deLet calculer son espérance. 0 (c) Calculerla covariance deLet deL. Pouvait-onprévoir le signe de cette covariance ?
3. Onsuppose à nouveau quenest un entier quelconque strictement supérieur à 1.
(a) Dénombrerles parties de lensemblef1; 2;:::;ngdistinctes de;,flg,f1; 2g,...,f1; 2;:::;n1g 0 (b) EndéduireP([L+L=n]). k 2k 0 (c) Montrerde même que, pour tout entierkdef1; 2;:::;ng, on a :P([L+L>k]) = k! 0 (d) Donnerla valeur deE(L+L)sous forme dune somme. 0 (e) EndéduireE(L)et sa limite quandntend vers linni.
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Partie 3 :Nombre de sous-suites croissantes. Étant donné une permutation(a1;a2;:::;an)def1; 2;:::;ng, si sa deuxième sous-suite croissante existe et ne se termine pas paran, on dénit la troisième sous-suite croissante à linstar de la deuxième, etc., jusquà ce que lon ait déni une sous-suite croissante se terminant paran. SoitTla variable aléatoire dénie sur(; ();P)qui, à toute permutation!, associe le nombre de ses sous-suites croissantes. Par exemple, sin= 9et!3; 5; 4; 9; 6; 7; 8; 1)= (2;;comme les sous-suites croissantes sont(2; 3; 5),(4; 9),(6; 7; 8) et(l), on a :T(!) = 4.
1. (a)Donner la loi deTdans le cas oùnvaut 2.Calculer son espérance et sa variance. (b) Donnerla loi deTdans le cas oùnvaut 3.Calculer son espérance et sa variance.
2. Onsuppose désormais lentiernsupérieur ou égal à 4.
(a) CalculerP([T= 1])etP([T=n]). 0 (b) Comparerles événements[L+L=n]et[T62]déduire la valeur de. EnP([T= 2]). (c) Donnerla loi deTdans le cas oùnCalculer son espérance et sa variance.vaut 4.
3. Pourtout entieridef1; 2;:::;n1gsoitAilévénement égal à lensemble des permutations(a1;a2;:::;an) vériantai> ai+l, et soitXila variable aléatoire qui, à toute permutation!, associe 1 si!2Aiet 0 sinon. 1 (a) MontrerqueXi. Donnerson espérance et sa variance.suit la loi de Bernoulli de paramètre 2 n+ 1 (b) Donnerune expression deTen fonction deXi. Endéduire légalité :E(T) =. 2 1 (c) Montrerque lon a :8i2 f1;:::;n2g; P(Ai\Ai+l) =déduire la valeur de. EnCov(Xi;Xi+l) 6 (d) Montrerque, pour tout couple(i;j)dentiers vériant16i < i+ 26j6n1, les événementsAiet Ajsont indépendants.En déduire légalité :Cov(Xi;Xj) = 0. n+ 1 (e) Établirenn légalité :V(T) =. 12 4. Onsuppose, dans cette question.quenOn considère 1000 variables aléatoiresest égal à 5.Tl,...,T1000, mutuellement indépendantes, de même loi que la variableTet on noteSla variable aléatoire égale à 1000 1P Ti. 1000 i=1 On notela fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et on donne la valeur approchée suivante p :( 5)0;987. Calculer une valeur approchée de la probabilitéP([2;95< S <3;05]). 5. Onsuppose à nouveau quenest un entier quelconque strictement supérieur à 1.
(a) Si(a1;a2;:::;an)est une permutation def1; 2;:::;ngetkle nombre de ses sous-suites croissantes, quel est le nombre de sous-suites croissantes de la permutation(an;an1;:::;a2;a1)? (b) Endéduire, pour tout entierkvériant16k6n, légalité :P([T=k]) =P([T=n+ 1k]). Retrouver ainsi la valeur deE(T).
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