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Mathématiques I 2003 BTS Informatique de gestion

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Examen du Supérieur BTS Informatique de gestion. Sujet de Mathématiques I 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2003 sur Bankexam.fr.
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BTS INFORMATIQUE DE GESTION
SESSION 2003
E2
:
MATHÉMATIQUES I
Durée : 3 heures
Coefficient : 2
ÉPREUVE
OBLIGATOIRE
Le (la) candidat (e) doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des calculatrices est autorisé.
Le formulaire officiel de mathématique est joint au sujet.
EXERCICE N° 1
(5 points)
On considère l’expression
E
dépendant des variables booléennes
a
,
b
et
c
:
.
E
a c
b c
a b
a b c
=
+
+
+
1)
Simplifier
l’expression
E
à l’aide de la lecture d’un tableau de Karnaugh (ou d’une table de
vérité)
et en déduire que :
E
=
b
+
c
.
2)
Dans un organisme qui aide des
personnes au chômage à trouver un emploi, on considère pour
ces personnes, trois
variables booléennes définies ainsi :
a = 1 si
la personne est âgée de 45 ans ou plus
(
sinon a = 0
)
.
b = 1 si la personne est au chômage depuis un an ou plus
(
sinon b = 0
)
.
c = 1 si la personne a déjà suivi une formation
l’année précédente
(
sinon c = 0
)
.
Une formation qualifiante sera mise en place pour les personnes vérifiant au moins un des
critères suivants :
o
avoir 45 ans ou plus et être au chômage depuis moins de un an,
o
avoir moins de 45 ans et ne pas avoir suivi de formation
l’année précédente,
o
être au chômage depuis un an ou plus et ne pas avoir suivi de formation l’année
précédente,
o
avoir moins de 45 ans, être au chômage depuis moins de un an et avoir suivi une
formation l’année précédente.
Les personnes qui ne répondent à aucun de ces quatre critères, pourront participer à un stage
d’insertion en entreprise.
Page 2 sur 4
a)
Ecrire l’expression booléenne
F
en fonction des variables
a
,
b
et
c
qui traduit le fait que la
personne pourra suivre cette formation qualifiante.
b)
En déduire, en utilisant le résultat du 1), les personnes qui ne pourront pas participer à la
formation qualifiante et qui participeront donc à un stage d’insertion en entreprise.
EXERCICE N° 2
(6 points)
On considère les matrices
A
=
1
0 1
1
1 1
0
0 1
et
I
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
.
1)
Déterminer la matrice
B
=
A
I
puis calculer les matrices
B
2
et
B
3
.
2)
En déduire la matrice
n
B
pour tout entier
n
,
n
3.
3)
La formule du binôme, appliquée au développement de
(
)
n
B
I
+
permet d’écrire pour tout
entier n, n
3:
(
)
(
)
1
2
2
3
3
1
1
!
...
...
, où
.
!
!
n
n
k
k
n
n
n
k
n
n
n
n
n
n
n
A
I
B
I
C B
C B
C B
C B
C
B
B
C
k n
k
-
-
=
+
= +
+
+
+
+
+
+
=
-
a)
Vérifier que, pour
1
2
2
3,
.
n
n
n
n
A
I
C B
C B
=
+
+
b)
Montrer, à l’aide des résultats du 1) :
(
)
1
0
1
1
2
0
0
1
n
n
n n
A
n
+
=
,
pour tout entier
n
,
n
3.
4)
Application
: on considère le graphe orienté
G
de sommets
X
,
Y
et
Z
, pris dans cet ordre et dont
la matrice d’adjacence est la matrice
A
.
a)
Donner une représentation géométrique du graphe
G
.
b)
Déterminer, à l’aide des questions précédentes, le nombre de chemins de longueur 5 du
sommet
Y
au sommet
Z
.
Page 3 sur 4
EXERCICE N° 3
(9 points)
Une entreprise a mis au point un
circuit électronique formé essentiellement
de deux composants
distincts C
1
et C
2
montés en parallèle de telle sorte que
ce circuit ne peut tomber en panne que
lorsque les deux composants C
1
et C
2
sont simultanément en panne
.
PARTIE A
Au bout de 6 000 heures d’utilisation du circuit électronique composé des éléments C
1
et C
2
, on
considère les événements suivants :
A : «
Le composant C
1
n’a pas eu de panne »
B : «
Le composant C
2
n’a pas eu de panne ».
On considèrera que les pannes des composants C
1
et C
2
sont indépendantes et que les
probabilités
respectives des événements A et B sont : p( A ) = 0,22 et p( B ) = 0,05.
Pour tous les calculs de probabilités demandés dans cette partie, on
donnera les résultats
sous leur forme approchée décimale arrondie à
2
10
-
près.
1)
On note
A
et
B
les événements contraires des événements A et B.
Calculer la probabilité de chacun des événements
A
et
B
.
2)
a)
Calculer la probabilité que le circuit électronique tombe en panne au bout de 6 000 heures.
b)
En déduire la probabilité
que le circuit électronique fonctionne sans panne au bout de 6 000
heures.
3)
Le composant C
1
peut avoir plusieurs pannes dans la période des premières heures
d’utilisation
.
On admet que le nombre de pannes
du composant C
1
dans la période des 6 000
premières heures d’utilisation suit la loi de Poisson de paramètre 1,5. On note X la variable
aléatoire associée au nombre de pannes
du composant C
1
au cours de cette période.
a)
Déterminer la probabilité que le composant C
1
ait au plus deux pannes au bout de 6 000
heures.
b)
Déterminer la probabilité que le composant C
1
ait au moins une panne au bout de 6 000
heures.
Page 4 sur 4
PARTIE B
Le service qualité de l’entreprise, chargé de tester le temps de fonctionnement de ce circuit
électronique, vérifie
d’abord le nombre d’heures de fonctionnement de chacun des composants C
1
et C
2
.
Les résultats obtenus sont les suivants :
les fonctions f
1
et f
2
correspondant respectivement à la probabilité que les composants C
1
et C
2
fonctionnent sans panne au bout de t milliers d’heures d’utilisation,
sont définies sur
[
[
,
O
+∞
par :
( )
( )
0,25
0,5
1
2
e
e
t
t
f
t
et f
t
-
-
=
=
.
1)
Etudes des fonctions. Tracés des courbes représentatives.
a)
Etudier le sens de variation de chacune des
fonctions
1
f
et
2
f
.
b)
Comment peut-on interpréter ces résultats pour les composants C
1
et C
2
?
c)
Tracer, sur le même graphique, de repère
(
)
, ,
O i j
r r
, les courbes représentatives
Γ
1
et
Γ
2
des
fonctions
1
f
et
2
f
.
On tracera les deux courbes sur l’intervalle [ 0 , 6 ] en prenant pour unités :
1 cm pour 500 heures en abscisse.
10 cm pour la probabilité égale à 1, en ordonnée.
2)
a)
Déterminer graphiquement pour chaque composant, au bout de combien d’heures, on aura
une probabilité qu’il fonctionne sans panne, égale à 0,37.
On indiquera tous les tracés utiles et on arrondira le résultat à une centaine d’heures près.
b)
En déduire, par lecture graphique, lequel des deux composants fonctionnera le plus
longtemps sans panne.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BTS
Informatique de Gestion
Session 2003
Corrigé de l’épreuve de mathématiques E2
Sujet
D
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CORRIGE DU SUJET :
D
BTS INFORMATIQUE DE GESTION
SESSION 2003
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
E2
Question
Correction
Barème
proposé
b
b
a
a
c
c
c
1
1)
On lit directement
. d'où :
.
E
b c
E
b c
b
c
=
=
=
+
(d’après une des lois de Morgan).
1
2)a)
Interprétons chaque condition :
« avoir 45 ans ou plus et être au chômage depuis moins de un an » :
.
a b
« avoir moins de 45 ans et ne pas avoir suivi de formation l’année précédente » :
.
a c
« être au chômage depuis un an ou plus et ne pas avoir suivi de formation l’année
précédente » :
.
b c
« avoir moins de 45 ans, être au chômage depuis moins de un an et avoir suivi une
formation l’année précédente » :
. .
a b c
Une formation est mise en place si la personne vérifie l’un au moins des critères précédents,
l’expression booléenne correspondante est :
.
.
.
. .
.
F
a b
a c
b c
a b c
E
=
+
+
+
=
1
Exercice I
2)b)
Comme
, on a aussi :
.
F
E
F
E
b c
=
=
=
, les personnes qui ne pourront pas participer à la
formation qualifiante sont celles qui sont au chômage depuis un an ou plus et qui ont suivi
une formation l’année précédente.
2
1)
2
3
0
0
1
0
0
0
1
0
1 . On trouve également :
0
0
1 .
est la matrice nulle.
0
0
0
0
0
0
B
A
I
B
B
=
- =
=
1,5
2)
3
3
3
Pour
3,
avec
3
0. Comme
0, alors :
3,
0.
n
n
n
n
B
B
B
n
B
n
B
-
=
×
- ≥
=
∀ ≥
=
1
Exercice II
3)a)
Dans le développement du binôme, toutes les matrices
,
3
k
B
k
sont égales à la matrice
nulle. Il reste donc les trois premiers termes dans ce développement.
On a bien :
(
)
1
2
2
2
1
3,
.
2
n
n
n
n n
n
A
I
C B
C B
I
nB
B
-
∀ ≥
=
+
+
=
+
+
0,5
3)b)
D’après le calcul précédent :
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
3,
0
1
0
0
0
0
1
2
2
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
(car
).
2
2
n
n
n
n n
n n
n
A
n
n
n
n n
n n
n
-
+
∀ ≥
=
+
+
=
-
+
+
=
1
4)a)
Notons
X
,
Y
,
Z
les trois sommets de ce graphe. On obtient :
1
X
Y
Z
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BTS
Informatique de Gestion
Session 2003
Corrigé de l’épreuve de mathématiques E2
Sujet
D
Page 2 sur 3
4)b)
Le nombre de chemins de longueur 5 du sommet
Y
au sommet
Z
est l’élément situé à la
deuxième ligne et à la troisième colonne de la matrice
5
.
A
D’après la question 3)b) :
5
1
0
5
5
1
15
0
0
1
A
=
. Il y a donc 15 chemins de longueur 5 allant du sommet
Y
au sommet
Z
.
1
A)1)
( )
( )
( )
( )
P
1
P
0,78
et
P
1
P
0,95.
A
A
B
B
= -
=
= -
=
0,5
A)2)a)
Le circuit électronique est en panne au bout de 6 000 heures si les deux composants sont
tombés en panne avant 6 000 heures. L’événement correspondant est
A
B
. Comme
A
et
B
sont indépendants,
et
A
B
le sont aussi et la probabilité demandée est :
(
)
( )
( )
2
P
P
P
0, 78
0,95
0, 74 en arrondissant le résultat à 10
près.
A
B
A
B
-
=
×
=
×
=
1
A)2)b)
La probabilité pour que le circuit fonctionne sans panne au bout de 6 000 heures est :
(
)
(
)
(
)
2
P A
B
1
P A
B
1
P A
1
0, 74
0, 26 en arrondissant le résultat
à 10
près.
B
-
= -
= -
= -
=
Remarque
: on peut aussi calculer directement
(
)
( )
( )
(
)
P
P A
P B
P A
B
...
A
B
=
+
-
=
1
A)3)a)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1,5
2
1,5
2
1,5
P
e
,
.
!
La probabilité demandée est :
P
2
P
0
P
1
P
2
1,5
e
1 1,5
0,81
valeur arrondie à 10
près.
2
k
X
k
k
k
X
X
X
X
-
-
-
=
=
×
=
=
+
=
+
=
=
×
+
+
=
¥
1,5
A)3)b)
(
)
(
)
1,5
2
On calcule P
1
1
P
0
1
e
0, 78 (valeur arrondie à 10
près).
X
X
-
-
= -
=
= -
=
0,5
B)1)a)
1
2
1
2
Les deux fonctions
et
sont de la forme :
:
e . On sait que pour
0,
est strictement décroissante sur .
Avec
0,25 ou
0,5
on peut donc dire que les deux fonctions
et
sont
stricte
at
f
f
f
t
a
f
a
a
f
f
<
= -
= -
¡
[
[
ment décroissantes sur
et donc aussi sur 0,+
.
¡
Un calcul de dérivées et de signe (
( )
( )
0,25
0,5
1
2
'
0,25 e
0 et
'
0,5 e
0)
t
t
f
t
f
t
-
-
= -
×
<
= -
×
<
conduit au même résultat.
1
B)1)b)
Il est normal que la probabilité pour qu’un circuit ne tombe pas en panne au bout de
t
milliers d’heures soit une fonction décroissante de
t
.
0,5
B)1)c)
Dessin.
1
B)2)a)
Voir dessin. On a dessiné la droite « horizontale » d’équation
0,37.
y
=
Elle coupe
1
C
au point d’abscisse
1
4000
t
(le calcul donne
3
1
ln0,37
3,977 à 10
près par défaut soit approximativement 3977 heures)
0,25
t
-
= -
=
Elle coupe
2
C
au point d’abscisse
2
2000
t
(le calcul donne
3
2
ln0,37
1,988 à 10
près par défaut soit approximativement 1988 heures)
0,5
t
-
= -
=
1
Exercice III
B)2)b)
On a :
0,5
0,25
0,
0,5
0,25
e
e
.
t
t
t
t
t
-
-
∀ ≥
-
≤ -
La probabilité pour que le premier composant fonctionne sans panne au bout de
t
milliers
d’heures est supérieure à la probabilité pour que le deuxième composant fonctionne au bout
de
t
milliers d’heures. Le premier composant fonctionne donc le plus longtemps sans panne.
Tout cela est obtenu par lecture graphique avec la courbe
1
C
toujours au-dessus de la
courbe
2
pour
0.
C
t
1
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BTS
Informatique de Gestion
Session 2003
Corrigé de l’épreuve de mathématiques E2
Sujet
D
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Dessin pour les questions B)1)c) et B)2).
o
1
C
2
C
P = 0,37
2000
t
4000
t