Danstoutleprobl`eme,onde´signeparnun entier naturel et par : •Rn[x´freeiruedrge´niaou´egal`]’lecevseapldieorcttincfoesylop-snoedsemoˆnn. n n •C(Reslcsaseedeellceveirote’l)capsioctr´nsdeelonsfCsurR. 0 En particulier,C(Rtnoceunirussctonnsioeer´esllpse’ltse)sfdeelritoecevacR. 0 A toute fonctionfraetantna`appC(Ronnoitacee´tcisoasonlipp’ael,)φfesurefini´dRpar : Z x φf(x) =f(t) dt x−1 0 Onde´finitainsiunendomorphismeφde l’espace vectorielC(R) dont on se propose dans la suite d’´etudierquelquesproprie´t´esautraversdepartiesquisontlargementind´ependantes.
PartieI:G´ene´ralite´s.
1)´eetesdaDqettecsnuestion,on´etudiqeeuqleupsorrp´iφfen fonction de celles def. a)nocnoitcnofetuotenutiagil’le´vurePorpournte,uivat´esfmbnouttoeert´reelx: Z 1 φf(x) =f(x+u−1) du 0 b)On suppose la fonctionfpaire (resp. impaire). Exprimerφf(−x) en fonction deφf(x+ 1). c)On suppose la fonctionfrc-celecasdeorceassi)etntsE.ssoiteanes(rd´p.φf? d)On suppose la fonctionfconvexe (resp. concave). Est-ce le cas deφf? e)On suppose que la fonctionfa une limiteLen±∞. Est-ce le cas deφf? 2)´pehtiusdmieeilns’teinodno,moonrecttqeeuudtiaapDsrnφsurRn[x]. a)Montrer queRn[x] est stable parφ. On note alorsφnl’endomorphisme induit parφsur Rn[x]. b)rtcideeamalrenimrete´Dφndans la base canonique deRn[x]. c)evtcseterppouesreresd´Dreteenimesrllevaspurprroφn. 3)e´tiedjeurivctenestc´eastDlatseuqette´no,noi’ieldituvitiecnjφ. 0 1 a)Montrer, pour toute fonctionfdeC(R), queφfest de classeCire´dasresice´rpetr.Pouv´ee k j quelles valeurs du nombre entierjl’espace vectorielφ C(R) est-ilinclus dansC(R) ? b)Montrer que Ker(φctonsfdep´1-nsioe)e´mroftsralet´egesurnulliduqreoi’dniseteode.´eriunep c)L’endomorphismeφest-il surjectif? injectif? 4)derospesprtecsnaDon,on´ettequestilee´emtndueiel´sφ. a)orrpuOenprenuerlavesnoce`diλ, de l’endomorphismeφdtnemertbmonnutileer´re,auλ 0 tel qu’il existe une fonction non nullefnanea`tappartC(Ranifit)re´vφf=λf. Montrer que toute fonction propref´icossarperproaleuunevee`aλ6-ta`’cse=,0teir-douet ∞ fonction continue non nulleftelle queφf=λfseasrimee,ts´ncealcedtneessCsurR. b)esnˆomcnitseofopylno-selQutlonsslefqui sont fonctions propres deφ? c)ntMor,reurpoottuonbmer´reelλ >0, qu’il existe une et une seule fonction exponentiellef ax d´efinieparf(x() = ea∈R) telle queφf=λf. End´eduirequetoutnombrere´elλ >0 est valeur propre deφ. d)r´eeltuonbmer,ropruotertnoMλ >,quelaseee1bnoi´nrofelutcnofappartenant au sous-espacepropreassocie´`aλest la fonction nulle. Danslasuiteduproble`me,on´etudielesous-espacepropreE1(φ)associ´e`lavalaueprorrpe 1,c’est-`a-direl’ensembledesfonctionscontinuesfnatrefiiv´φf(x) =f(x) pour tout nombre r´eelx, ou : Z x f(t) dt=f(x) x−1
Partie II: Existence d’une fonction non constante dansE1(φ) 1)Onontiofcneraldie`ocsnf0niefie[ed0d´,1] dansRparf0(0) =f0(1) = 0 et pour 0< x <1 par : 1 1 f0(x) = (x−) exp() 2x(x−1) a)errpruebtntae´eseivedrentMocolauerqf0apourdmettneceder´mysirteepelntoi(1/2,0). Z 1 1 b)Montrer quef0est de classeCsur [0,1] et quef0(t) dt= 0. 0 2)rolarapsce´rerrue`ncaraprdtieOnd´efinitf0une suite de fonctions (fn)d´0[ressuefini,1] par : Z x fn+1(x) =fn(1) exp(x)−exp(x)fn(t) exp(−t) dt 0 10 a)Montrer quefn+1est de classeCsur [0,te]1re´vifie(fn+1) =fn+1−fn:qeeuudridne´E. Z 1 fn+1(1)−fn+1(0) =fn+1(t)−fn(t) dt 0 b)Montrer quefn+1(0) =fn(.E1)dne´udriqeeu: Z 1 fn(1) =fn(t) dt 0 Z Z x1 c)Ebromtnouel´eernerilbattruop,nfixde [0,1], quefn+1(x) =fn+1(t) dt+fn(t) dt. 0x d)On notefel[nietvrlaurchaqued´efiniesacilnoitlppa’n, n1+`u[on∈Nparf(x) =fn(x−n). Ainsi, la fonctionfnoiiedtncee´sneuellr[rsaveriluas´efinestdn, n+ 1[,et donc sur [0,+∞[. Z x Montrer quefest continue sur [0,+∞[te´vrefiief(x) =f(t) dttruontuorbmoe´reelp x−1 x>1. 3)On prolonge la fonctionfd´e[0ssruseusicd-nfiei,+∞ctonefunen[[ruseinfie´dnoi−1,+∞[. 0 A cet effet, on posef(x) =f(x+ 1)−f(xpour+ 1)−16x <0. Z x Montrer quefest continue sur [−1,+∞erv´et[eifif(x) =f(t) dtpour tout nombre x−1 r´eelx>0. Enre´ite´rantcemˆemeproc´ede´sur[−2,+∞[,[−3,+∞[, etc, on obtient une fonctionf continue surRtnafiire´vφf(x) =f(xl´reebmertuonurto)pox(on ne demande pas d’expliciter ce raisonnement). Partie III:Limite en+∞d’une fonction deE1(φ) Ond´esignetoujoursparfune application deE1(φ) et parnun nombre entier naturel. 1)seuqettecsnadeids(teuissleonti´etuOnMn) et (mn) des maxima et minima defsur [n, n+ 1]. a)Justifier l’existence du maximumMnde la fonctionfsur l’intervalle [n, npuis celle+ 1], d’unnombrere´elxnnetr`tnaa[appan, ntel que+ 1]f(xn) =Mn. b)On supposen>1. Montrer que : 0 •f(xn) = 0 sin < xn< n+ 1,et comparer alorsf(xn−a1`)f(xn). •fest constante sur [n, nsi+ 1]xn=n+ 1. End´eduiredanstouslescasqueMn−1>Mn. c)muOdne´nfiemmˆdeitiminemelmnde la fonctionfsur l’intervalle [n, n+ 1]. Etablir la monotonie de la suite (mn´edutend)eecnegrevnocaleris(teuissdeMn) et (mn). 2)e´utiddenOquestionanscettedecnenu’xe’letsintvelluemili´eteedefen +∞et on pose Z 1 L= 2tf(t) dt 0 2