´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2003
´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ PREMIERE EPREUVE Filie`reMP (Dur´eedel’e´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
SoitEeel;soitertienr´rpe´ihblnuseapec(x, y)→−(x|y) le produit scalaire de cet espace.La norme d’un vecteurxdeEtesreaialscitduorpecedetiude´d, not´eex.
´ Etantdonn´eunre´elµ´erieurou´egal`a(1pusµ≥1), une suite denvecteurs d’un espace euclidienEn, de dimension finien,x1, x2, ..., xnest diteµ-presque orthogonale(enabr´eg´eµet seulement si :-p.o.) si
i. lesvecteursx1, x2, ..., xn,tie´unmeorentdons ii. pourtoute suite finie denr´eelsa1, a2, ..., anla norme du vecteur n aixiielbuodatilage´nelifierv´´esuivante: i=1 2 n nn 12 2 (ai)≤aixi≤µ(ai). µ i=1i=1i=1 Plusge´n´eralement:unesuited´enombrable(xkvecteurs unitaires) de k∈N d’unespacepre´hilbertienr´eelestditepresqueorthogonale(p.o.),sietseule-ments’ilexisteunre´elµ≥1 tel que, pour tout entiernstrictement positif, pour toute suite extraitex ,x ,et pour tou k1k2..., xknde la suite (xk)k∈Nte n suite finie den´rlseea1, a2, ..., anraifie la ,la norme du vecteui=1xki´eriv relation suivante :
2
2 n nn 12 2 (ai)≤aixki≤µ(ai). µ i=1i=1i=1 Remarque :la suite des indicesk1, k2, ..., knde la suite extraitexk1, xk2, ..., xkn, est une suite monotone strictement croissantek1< k2< ... < kn. Premie`resproprie´t´es: SoitEnun espace euclidien de dimensionn. 6.D´emontrerque,pourqu’unesuitedenvecteursx1, x2, ..., xnsoit unebaseorthonorm´eedeEn, il faut et il suffit qu’elle soit une suite 1-presque orthogonale. 7.D´emontrerque,siunesuitedenvecteursx1, x2, ..., xndeEnest µ-presque orthogonale, la suite est libre. Un exemple : SoitE’lseevtcapecldesorietionfoncellee´rseinfie´dstiontcserlsuesnue segment [0,1] ; le produit scalaire de deux fonctionsfetgdeEsteefid´rpani la relation suivante : 1 (f|g) =f(x)g(x)dx. 0 Soit (Pn) lasuite des fonctions deEd´efinieaniv:tealitnouspsraaler n∈N n Pn(x) =2n+ 1x . 8.De´montrerque,bienquelasuitedesfonctionsPnitroemdnee´osnuti libre, la suite (Pn) n’estpas presque orthogonale. n∈N
Soit (V1, V2, ...,Vn) une suite libre deneriatinustnadnep´endsiurteecsv d’un espace euclidienEnde dimensionn. SoitMro’derdraceee´rmalaictrn dontlese´l´ementsmi jes´saagcaxluruiapxorousdttniteursesdesvecVietVj.
M= (mi j) ;mi j= (Vi|Vj). ´ n Etantdonne´eunesuitedenlsr´eea1, a2, ..., an,soitAle vecteur deRde coordonn´eesa1, a2, ..., anla`ambcoaiinnlsoe´nieriasedeWtelevtcue´rgela vecteursV1, V2V, ...,navec les coefficientsa1, a2, ..., an: a1 n a2 A= ;W=aiVi. ... i=1 an
La suite de vecteurs(V1, V2V, ...,n)estµ-presque orthogonale : 9.De´montrerl’existenced’unematricecarre´ePorthogonale et d’une ma-trice diagonaleDnolasenodtffie´erl´ementsdeladiagdttnolsuoe´se,e0sdnt telles que :
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t M=P.D.P.
t t ´ 10. Etablirla relation qui lie la norme du vecteurWelur´eaA.M.A;A de´signelamatricetranspose´edelamatricecolonneA.
11.End´eduirequelese´l´ementsdelamatriceDsont strictement positifs, puisend´eduireunencadrementdelanormeduvecteurWlav`sasruededel’ai propres de la matriceMet de la norme du vecteurBarl´egal`al’imagepa matricePdu vecteurA(B=P.A).
Soit maintenant (Vnaiitsdreeuctunrselbaevedne´drbmounesuite)u’n n≥1 espacepre´hilbertienr´eelE.
Une condition suffisante : 13.De´montrerque,s’ilexisteunr´eelα,srtcietemsunterp´urie3(`aα >3), tel que le produit scalaire de deux vecteursVpetVqlosbarueeujomaitsoalnveer´ −|p−q| parlere´elα,e:se’c`at-ir-d 1 |(Vp|Vq)| ≤, |p−q| α la suite (Vnpresque orthogonale.) est n≥1
Deuxquestionspre´liminaires: 14. Soitfond´nctilafoniefianedeqslrtualped1[na,∞[×[1,∞[ par la relation suivante : 2y+ 12xy+ 1 f(x, y) =. y+xy+ 1 SoitGniesd´efidemiurlati[ed-or1fal,noitcno,∞[, par la relation suivante : G(xlim) =f(x, y). y−→∞ ´ Etudierlesvariationsdessixfonctionsd´efiniessurlademi-droiteferme´e [1,∞[ par les relations suivantes :