´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2004
` ´´ PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`reMP (Dure´edel’e´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
L’objetdeceproble`meestprincipalementl’´etudeetlecalculdel’inte´gralesuivante: Z ∞ arctant I=dt . π t e−1 0
Premi`erepartie
Lebutdecettepartieestd’e´tabliruneexpressiondel’inte´graleIerlafonctdi’o´netuditeϕfinied´e par la relation suivante : arctant ϕ(t) =. π t e−1
Variations de la fonctionϕ: 1.D´eterminerune´ventuelprolongementparcontinuite´delafonctionϕen 0. ´ 2. Etudierles variations de la fonctionϕsur la demi-droite ouverteD= ]0,∞nassere´tpeut[;ileintˆetr d’introduire la fonction auxiliaireψitalusnorapeerald´niefiivante: −π t 1−e ψ(t) =−πarctant . 2 1 +t
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Ende´duirelabornesup´erieuredelafonctionϕsurD. Existenceetexpressionsdel’inte´graleI: 3.Justifierl’existencedel’inte´graleIelarrlpauinsioat:eavtneinfie´d Z ∞ arctant I=dt . π t e−1 0
4.D´emontrerlesdeuxrelationssuivantes: ∞Z∞Z ∞ ∞−k π t X X 1e −k π t I=earctant dt;I=dt . 2 k π1 +t 0 0 k=1k=1
Deuxi`emepartie
Le but de cette partie est d’introduire une fonctionfnoa`afc¸fsrortnadeeunetbossexesrlmeonsiespr pre´ce´demmentpourl’int´egraleIet`apouvgr´eeallreltni’criouclaI.Soitftionrelaarlainpe´dfieitnoofcnla suivante :
Z ∞ −x t e f(x) =dt . 2 1 +t 0
Propri´ete´sdelafonctionf: 5.De´terminerl’ensembleded´efinitiondelafonctionfecr´.Penl’erisadelbmesleuqelsnnctilafoonf estcontinue;quelleestsalimitelorsqueler´eelxtend vers l’infini ?
´ 6.Dansquelensembleest-elledeuxfoiscontinˆumentd´erivable?Etablirunerelationsimpleentrela fonctionfeeesir´veocdnad´eetsf´sur la demi-droite ouverteD= ]0,∞[.
Deuxint´egrales: ´ Soitanu´reeslrtcimeteponttisif(a >.)0natEnodtue´nlerne´X`aegalrou´iruepue´sa(X≥a), soient S(X) etC(Xraegt´inuxdees)ltnse:elssiuav Z Z X X sintcost S(X) =dt;C(X) =dt . t t a a 7.Existe-t-ilunelimitea`chacunedesexpressionsS(X) etC(X),loreeller´squeXcroˆıt vers l’infini ?
Soientgethd´efiniessurladem-irdioetuoevtredselfxuetcnosnoiDsuivantes :par les relations Z ZZ Z ∞X∞X sintsintcostcost g(x) =dt= limdt;h(x) =dt= limdt . t tt t X−→∞X−→∞ x xx x
Une expression de la fonctionf:
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8.R´esoudrel’e´quationdiffe´rentiellev´erifi´eeparlafonctionfdans la demi-droite ouverteD= ]0,∞[ ;exprimerlasolutiong´ene´raledecette´equation`al’aidedesdeuxfonctionsgeth.
9.End´eduirelesdeuxexpressionsci-dessousdelafonctionf: Z Z ∞ ∞ sinusin (xt) f(x) =du=dt . u+x1 +t 0 0
Troisi`emepartie
Unr´esultatinterme´diaire: 10.Enutilisantlesre´sultatse´tablisdanslespremi`ereetdeuxie`meparties,de´montrerlarelation suivante : ∞Z ∞ X 1 sin(k u) I=du . k ππ+u 0 k=1
11.D´emontrerlere´sultatsuivant: ! ∞Z∞ ∞ X X 1 11 1cos (nu) I=−du. 2 22 2 π kπ n 0(u+π) k=1n=1
2∗ Sommedelase´riedetermege´ne´ralcos (nu)/n , n∈N: SoitGfanotcoi2elriodep´equediodire´p,ellee´retiodrlauresniefid´n,π(G(x+ 2π) =G(x)), dont la restriction au segment [0,2π:ee´dtse]lrapeinfiioatelarntvauins 2 2 x πxπ G(x) =−+. 4 2 6
´ 12.Etudierlaparite´delafonctionGmentoppeevelled´rueiedoFreeine´stsencieffico`ar,´e.Drmteerin r´eels,decettefonctionG. Quelleestlanaturedelaconvergencedelas´eriedeFourier? 2∗ 13.Ende´duirelasommeT(xs´lade)tedeieere´´nmrgeoc(srelanx)/n , n∈N,lorsleuqe´relex appartient au segment [0,2π] : ∞ X cos (nx) T(x) =. 2 n n=1 2∗ End´eduirelasommeSne´gemretedeire´aseldl1´eran/n ,∈N: ∞ X 1 S=. 2 n n=1
Valeurdel’inte´graleI:
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Soitakesalvauint’igr´einfielrape´re´dleltn:e ! Z∞ 2 (k+1)π X 1 cos(nu) ak=du. 2 2 n 2k π(u+π) n=1 14. Calculer,pour tout entier naturelk,uedrvalalelrue´ak. SoitNSoitun entier strictement positif.INfieinaplrraletaoicn-iedsslueor:´seeld´ N−1 X 2n+ 3 IN=−1 + (n+ 1) ln. 2n+ 1 n=0 15.De´montrerquelavaleurdel’inte´graleIt´egesalalale`ledetimi(etiusaIN)∗: N∈N