NotationsDansceproble`me,onde´signeparnun nombre entier naturel non nul et on convient n d’identifier tout vecteurXdeR`lamaolonnedeatrice-ctnassecsesopmox1, x2, . . . , xndans la n base canonique deRe:adirest`,c’ x1 x2 X= . xn t Latranspose´ed’unetellematriceXest la matrice-ligneX= (x1, x2, . . . , xn). Le produit scalaire n canonique d’un vecteurXet d’un vecteurYdeRe´agolsresta`l:a n X t hX, Yi=XY=xiyi i=1 p La norme euclidienne deXe´nfieiaprsedt||X||=hX, Xiet on dira qu’une suite de vecteurs n n (Xp) deRconverge vers un vecteurXdeRsi la suite||Xp−X||converge vers 0. Pourfinir,ond´esignepar -Intit´ed’ordretamaledi-ecirn -Aquri´eerleelord’erdnumetairecys´mten.
Partie I :Etude d’une suite de vecteurs
n 1)Dans cette question, on noteCun vecteur non nul de composantesc1, c2. . . , cndeR. t t a)Expliciter le produit matricielC C. La matriceC C?est-elle diagonalisable t 2t b)Exprimer (C C) enfonction deC Cet de la norme deC. t 2 c)edoutevaleurproprenEde´deriuteuqC Cetse´agela`a`uo0||C||. d)0.´e`aosicersarppoapecess-ouesrlseci´erP t 2 CalculerC CCen fonction deCoci´e`aorrpaesse-pscapeleerussor´tpisece||C||. t e)icerelanatuEnd´eduiodomprihered’lneueiqntmeecsmonanala`rtamossae´icC C. Montrer qu’il s’agit d’une projection orthogonale lorsque le vecteurCest unitaire. n 2)Danscettequest,noi´dnogiseapenrXetYdeux vecteurs deR. ´ t tt t2 tt tt a)Etablir queXY=Y X,XAY=hX, AYi=hAX, Yi, (XY) =X(Y Y)X=Y(X X)Y. n b)Justifier l’existence d’une base orthonormale de vecteursU1, U2, . . . , UndeRpour lesquels existentdesre´elsλ1, λ2, . . . , λntels queAU1=λ1U1, AU2=λ2U2, . . . , AUn=λnUn. c)Exprimer les vecteursXetAXdans la base (U1, U2, . . . , Unurleueiqs`meorsndielaa’snia) des produits scalaireshUi, XiethUi, AXiu1o`6i6nntvauiest´liga´e:ere’lorvuiupsp, n X 2 hX, AXi=λihUi, Xi i=1 d)esllivsutrmaieicetna:sEnd´eduagil´tserilesee´ n n X X t t I=UiUietA=λiUiUi i=1i=1 t Reconnaˆıtrelesendomorphismescanoniquementassocie´sauxmatricesUiUi. e)eler´nislagee´tiuissntva:esEnd´edui 2 2 min (λi)||X||6hX, AXi6max (λi)||X|| 16i6n16i6n
f )Application: encadrer par deux nombres entiers les valeurs propres de la matrice d’ordren de´finieci-dessous(touslese´le´mentssontnuls,saufsurlestroisdiagonalescentrales) 4 –10. . .0 . . . . –1 4. .. . . . . . . A= 0 . . .0 . . . . . . .. . .–1 0. . .0 –14
3)Dans cette question, on noteρ(Amax () =|λi|). 16i6n n X 2 22 a)eerquerifiV´||AX||=λhUi, Xi. i i=1 Prouver que||AX||6ρ(A)||X||eital.´enalt´’gerre´lasiunvecteutexhiber ´ b)elavdecn´’lriuqeEtliabivannssutesxurpseedtioiposo p i. Pour tout vecteurX, la suite (A X) tend vers 0 quandptend vers +∞ ii.ρ(A)<1.
PartieII:Unproble`medeminimisation
Dans toute cette partie,Rp[Xesfoblednsemel’eoˆemlonynopscnitnfeiri´eedsdr´egngise´d]rue oue´gala`petα, βuxr´eelssontde0t´vrefiina< α < β. On se propose de minimiser sup{|Q(t)|/α6t6β}`ouQtceir´dRp[X]etifiev´erQ(0) = 1. 1)tcoisnocnOdisnre`esulaeditonefTpar´dfieinpeT0(t) = 1,T1(t) =t, et, sip>1, par la relationder´ecurrenceTp+1(t) = 2tTp(t)−Tp−1(t). p a)Montrer queTpgededemoe´rtsnuectioefonlynˆn-popnrtpdteerlseci´eiefficoeect. b)Prouverrte´lep,uotruoθet tout entier naturelpqueTpcos(θ) =cos(pθappe.Onra)ll`e ceteffetlaformuledetrigonom´etriecos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b). c)iueruspEnedd´{|Tp(t)|/−16t61}et montrer queTpadmet dans [−1,1]p´ezcnsttiissdro quel’onpr´ecisera. 2)esigOnd´paneraeer´ellteuqun|a|>1. On se propose de minimiser sup{|Q(t)|/−16t61}`uoQitcr´edRp[Xefiire´vte]Q(a) = 1. Tp Pourcela,ond´esigneparSp.la fonction Tp(a) a)Ocnd`eronsiilene,s’u,etsixeitcnofennˆlypooneomPdeRp[X] telle queP(a1etv´erifiant=) 1 sup{|P(t)|/−16t61}<. |Tp(a)| jπ jπ Pr´eciserpour06j6ple signe deSpcos−Pcos . p p End´eduirequeSp−Pa au moinspracinesr+1siitcnete´leeldsrureconeets,tiennoiartntcid enexaminantledegre´deSp−P. b)Eirdu´enduspqeeu{|Q(t)|/−16t61}o`uQtecrid´Rp[Xte]re´vefiiQ(a) = 1 est minimal 1 pourSp.et vaut |Tp(a)| 1 c)SiPeme`lborpeca`tnaisfaisatesomnˆlye(reuqnorton,msatinimidemiestunpoP+Sp) 2 estaussiunpolynoˆmesatisfaisant`aceprobl`eme,etqu’onapour06j6p: 1jπ jπ1 Pcos +Spcos = 2p p|Tp(a)| Ende´duirequeP=Sp.
PartieIII:R´esolutionite´ratived’unsyste`meAX=B On supposera de plus, dans cette partie, que les valeurs propres deAsont strictement positives et on les classe comme suit : 0< λ16. . .6λn. One´tudieunem´ethodeite´rativeder´esolutiondusyste`medeCramerAX=Ba`tu’,qd´onniefi n partird’unesuiteder´eelsstrictementpositifs(αp) et d’un vecteurX0deR: Xp+1=Xp+αp(B−AXp) ∗ Justifierl’existenceetl’unicite´delasolutionXst`eme.dusy 1)Dans cette question, on suppose la suite (αpnaetnotsc)aale`,´egα >0. ∗p∗ a)Montrer, pour tout nombre entier naturelp, queXp−X= (I−αA) (X0−X). b)rlseci´eurlevaesserporpsrPµ1, . . . , µnde la matriceI−αA, ainsi queρ(I−αAmax () =|µi|). 16i6n Tracerlacourberepre´sentativedelafonctiond´efinieparf(α) =ρ(I−αA). ∗ c)uireque(End´edXp) converge versXsi et seulement siα <2/λn. 2 Montrerquelaconvergenceestoptimaleenunsensquel’onpre´ciserapourα= et λ1+λn montrer qu’alors : p λn−λ1 ∗ ∗ ||Xp−X||6||X0−X|| λn+λ1 2)sacuatneivernOosnptolera´eeng´rbeentmotruopeuourelrnatntiep>1 : Pp(t) = (1−α0t)(1−α1t). . .(1−αp−1t) etPp(A) = (I−α0A)(I−α1A). . .(I−αp−1A) a)´ePresrlsecipsruelavserporν1, . . . , νnde la matricePp(A), et montrer que ρ(Pp(A)) =max (|νi|fiel’in´egalit´ev)ire´ρ Pp(A)6sup{|Pp(t)|/λ16t6λn}. 16i6n ∗ ∗ ´ b)Etablir queXp−X=Pp(A)(X0−X), puis que : ∗ ∗ ||Xp−X||6sup{|Pp(t)|/λ16t6λn} ||X0−X|| c)Lorsque l’entierplrisonseno-tiohcrembses,eocfit´xptuemmneαj0`uo6j6p−1 pour minimiserler´eelsup{|Pp(t)|/λ16t6λn}? Etablir qu’on a alors : 1 ∗ ∗ ||Xp−X||6 ||X0−X|| λ1+λn Tp λ1−λn p λ+λ 1n p−1λn+λ1 Montrer queTpltneqsroeustequ´ealivptend vers +∞`a 2. λ1−λnλn−λ1 Comparerlaconvergencedelame´thodeite´rativea`αconstant de la question1avec celle de lame´thodeit´erativeoptimalede´veloppe´ea`cettequestion.