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Mathématiques I 2004 Classe Prepa PC Concours Mines-Ponts

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Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques I 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2004 sur Bankexam.fr.
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A 2004 Math PC 1
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2004
` ´´ PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`rePC (Dure´edele´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT,TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremi`erepagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES1-Filie`rePC.
Cete´nonc´ecomporte5pagesdetexte.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd´enonce´,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilestamene´`aprendre.
Ceproble`memeten´evidenceparuneme´thodeoriginaleunepropri´et´eetunem´ethodedecalculde lamoyenneetdelavariancebienconnuesenProbabilit´es.
SoitSensllleeestius´rselbmesedeU= (untous les termes) dontunsont positifs ou nuls et la nN somme´egale`a1: ( ) X S=U|U= (un),n, un0, un= 1. nN n=0 SoitFonctdesfmbleensellse´reeoisnlfqiuessdmeomssdentsoredere`itneeire´yanoedocvnreegcne Regtnvnresruqseol´eelelersup´erieurou´e`lagc;1a´sseeirentseeri`soescontxelte1a`lemmosru´egaest vaut1encepoint;touteslesd´erive´esdesfonctionsfen 0 sont positives ou nulles : ( ) ∞ ∞ X X n(n) F=f|f(x) =anx ,an= 1, R1,n, f(0)0. n=0n=0 ` A une suiteU= (unppraa,)aneta`tnSi´oclaeencfoontise,ssatfationsuivante:de´neiaplrrale nN X n f(x) =unx . n=0 b Soitjplaplnaioatic´deniisin:eU7f=j(U) ; la fonctionj(Ueenot´)estU.
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Propri´et´esdesfonctionsdeFet des suites deS: 1.D´emontrerquetoutefonctionf,blensemquitrappaiela`tneF,est, sur l’intervalle ouvertI= ]1,u,[1ofen0[tneed´menitincinonbaelc,ortn´dreviurlesegmissantes,1] et convexe sur l’intervalle semi-ouvert [0,1[.
2.D´emontrerquetoutefonctionf,aptriupaa`leitnlembseenqF,ga`eunit1neehcua.ontces
q Exemples :soientG, EetVrseltalesnoiviusteui´esdienarsplsertioss:snaet n+1 Glare´ne´gemretequedetrieom´teg´saiuseltgn= 1/2 :   1 G=. n+1 2 nN q ´ iernaturn´eunenttEnadtnoleq, Eest la suite dont tous les termes sont nuls sauf le terme de rang q`a1:lage´
q E= (0, . . . ,0,1,0,∙ ∙ ∙). V= (vnesrelationssuivatnse:)elastitsueredlee´e´dseinlrap nN  ! 1 X a1 v0= 1/pour2 ;n1, vn= aveca= 2. 2 2 n n n=1 q q b cq 3. Montrerque les suitesG, EetVsont dansS.imrelrente´DimesesagG=j(G), E=j(E) q b b des suitesGetE´ceaelculerlad´eriv;Vla fonction´ deV=j(V) image de la suiteV; puis donner b l’expression deV(xtne´nuieeddlia)`ae.algr
4. Soitfnetrappanoitcnofnnae`tulaesnmelbeF. D´emontrerque,silafonctionfest nulle en 0 (fla fonction(0) = 0),fegaloit´e`atss,exsur le segment [0,1],´eorarepctristitajtmenemosxsur l’intervalle ouvert ]0,1[ (0< x <1 =f(x)< x).
De´montrerque,silafonctionfest strictement positive en 0 (f(0)>0),oinuqtale´
f(x) =x a, dans l’intervalle ouvert ]0,1[, au plus une solution.
5.D´emontrerque,pourtoutesuiteUlbesnmeenrtpaapealt`anS,la fonctionj(U)atienptp`aar l’ensembleF.lpaqreutnere´omDnioaticpljest une application bijective de l’ensembleSsur l’ensemble F.
Une loi de composition dans l’ensembleS: ´ Etantdonn´eesdeuxsuitesU= (un) etV= (vnnatearppenl`antesbmela)S,soitUVla nNnN suite, dont les termeswn,nNn´epaisarrlatels,dtnoe:ntvauinsio n X wn=upvnp. p=0 6.De´montrerquelasuiteUV= (wniasn)paapiert´eidienbmesela`tnnelS. nN
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7.De´montrerqu´etantdonne´esdeuxsuitesUetVdeS,colaosmpe`´aeUVde ces suites correspond par l’applicationjle produit des fonctionsj(U) etj(V) : \b b j(UV) =j(U)j(V) ouUV=V .U .
8.D´emontrerquelaloidecompositionvetiiaocl´´eun,auentnemetseteertenid´edssce-iatsssuse commutative.
´ Etantdonn´esunr´eelp, strictement compris entre 0 et 1 (0< p <lee´rnute)1λstrictement positif, p pλ soientB ,niesd´euitelessteΠΓtnav:eelsdanameri`uies p p p Best la suite dont tous les termesnβ ,N,sont nuls sauf les deux premiers :β= 1pet n0 p β=p: 1 p B= (1p, p,0,0, . . .).
p pn em´gtereetitdsealΓusralen´eγ= (1p)p,nN: n
p n Γ =((1p)p). nN
n λ λλλ mrgee´´niuetedetastlesΠeralπ=e,nN: n n!   n λ λλ Π =e . n! nN
Produit de compositionde chacune de ces suitesqelecavismeˆe-mle:of p pλ 9.De´montrerquelestroissuitesB ,ntnel`aseenlembΓeΠtappraitneS.´Dreteseengiammuieslrr cpcpcλ B ,Π parl’applicationΓ etj. ´ pq pq λq 10.Etantdonne´unentiernaturelqetd´miersipof,tietcitnemrtstiseenlrseusB ,ΠΓ et p pλ obtenuesrespectivementa`partirdessuitesB ,Γ etcompositionΠ parqsiceresivaofelec-mlemeˆer´.P pq pq λq lestermesdecessuitesnot´esrespectivementβ,γetπ ,nN. n nn
λ q q Pourunr´eelλsulaeitnod,e´nimiledetBlorsque l’entierqrslıtvei.innrcˆo
11.Lere´elstrictementpositifλdosteitresquelennn´e;lorqest suffisamment grand, le rapportλ/q estunre´elstrictementcomprisentre0et1. De´terminer,pourtoutentiernuidmeiltmarle,te´xe
λ q λ qq βnde rangnde la suiteB , q λ λ lorsque l’entierqetmredudecroˆıtverslE.innicremirpxmiliteetail`ateπde rangnde la suite Π. n
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