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Mathématiques I 2005 Classe Prepa HEC (S) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2005 sur Bankexam.fr.
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CHAMBRE DE COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS
DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT
Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES
E.S.C.P.-E.A.P.
ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION SCIENTIFIQUE
MATHEMATIQUES I
Année 2005
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de
leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et
de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
On rappelle que
pour tout réel
x
strictement positif, l'intégrale
1
(
1) ln
0
0
x
t
x
t
t
t
e dt
e
e dt
+∞
+∞
-
-
-
-
= ∫
est convergente;
la fonction
Γ
est définie sur
×
+
¡
, et associe à tout réel
x
strictement positif, le réel strictement
positif
1
0
( )
x
t
x
t
e dt
+∞
-
-
Γ
=
;
pour tout réel
x
strictement positif,
(
1)
( )
x
x
x
Γ
+
= Γ
.
Pour tout entier naturel
k
non nul, et pour toute fonction
f
définie sur
×
+
¡
,
k
fois
dérivable, on note
(
)
k
f
la dérivée
k
-ième de la fonction
f
. Les dérivées première et
seconde sont également notées
f
et
f
′′
.
Dans les parties II et III du problème,
exp
désigne la fonction exponentielle. Les parties
III et IV sont indépendantes.
Le problème a pour objet la mise en évidence de certaines propriétés de la fonction
Γ
.
Partie I : Une expression de
( )
x
Γ
1) Soit
n
un entier supérieur ou égal à
1
.
a) Pour tout réel
u
tel que
0
1
u
<
, montrer que
ln(1
)
u
u
-
≤ -
. En déduire, pour tout réel
t
de l'intervalle
[0,
]
n
, l'inégalité :
1
n
t
t
e
n
-
-
.
b) tudier les variations de la fonction
ϕ
définie sur
[0,
[
n
qui, à tout réel
t
de
[0,
[
n
associe :
2
( )
ln 1
ln 1
t
t
t
t
n
n
n
ϕ
=
-
- -
-
Établir, pour tout réel
t
de
[0,
]
n
, l'inégalité :
2
1
1
n
t
t
t
e
n
n
-
-
-
c) Justifier, pour tout réel
t
de
[0,
]
n
, les inégalités :
2
1
n
t
t
t
t
t
e
e
e
n
n
-
-
-
-
-
En déduire que, pour tout réel
x
strictement positif :
1
0
( )
lim
1
n
n
x
n
t
x
t
dt
n
-
→ +∞
Γ
=
-
2)
a) Pour tout réel
x
strictement positif et pour tout entier naturel
n
non nul, montrer que les
intégrales
1
1
0
x
y
dy
-
et
1
1
0
(1
)
x
n
y
y
dy
-
-
sont convergentes.On pose alors
1
1
0
0
( )
x
B x
y
dy
-
=
et
pour tout
n
supérieur ou égal à
1
,
1
1
0
( )
(1
)
x
n
n
B x
y
y
dy
-
=
-
.
b) A l'aide d'une intégration par parties, montrer, pour tout
n
de
×
¥
, l'égalité :
!
( )
(
1)...(
)
n
n
B x
x x
x
n
=
+
+
En déduire, pour tout
n
de
¥
, la formule :
( )
(
1)
( )
(
1)
n
x
n
B x
x
n
Γ
× Γ
+
=
Γ
+ +
c) Montrer que, pour tout réel
x
strictement positif :
!
( )
lim
(
1)?(
)
x
n
n n
x
x x
x n
→ +∞
Γ
=
+
+
En déduire que, pour tout réel
x
strictement positif,
(
)
(
1)!
x
n
x n
n n
γ
→ +∞
+
-
, lorsque
n
tend
vers
+∞
.
d) Pour tout
n
de
×
¥
, on pose
2
1
2
n
n
n
λ
Γ
=
+
Γ
. Montrer que
2
n
n
n
λ
→ +∞
lorsque
n
tend
vers
+∞
.
Partie II : Dérivabilité de la fonction
Γ
et conséquences
1)
a) Montrer que, pour tout entier naturel
k
non nul, et pour tout réel
x
strictement positif,
l'intégrale
1
0
(ln )
x
k
t
t
t
e dt
+∞
-
-
est absolument convergente. On note
( )
k
g
x
la valeur de cette
intégrale.
b) Soit
[ ,
]
a
b
un segment de
×
+
¡
. Soit
0
x
et
x
deux éléments distincts de
] ,
[
a
b
. Établir
l'inégalité :
2
2
1
0
0
0
1
0
[
,
]
0
(
)
( ( )
(
)
(
)
(
))
(ln )
sup
2
t
a b
x
x
x
x
x
x g x
t
t
e dt
α
α
+∞
-
-
-
Γ
- Γ
-
-
c) Montrer l'inégalité suivante :
1
2
1
2
1
2
1
[
,
]
0
0
0
(ln )
sup
(ln )
(ln )
t
t
b
t
a b
t
t
e dt
t t
e dt
t t
e dt
α
α
α
+∞
+∞
-
-
-
-
-
-
+
En déduire que la fonction
Γ
est dérivable en
0
x
et que
0
1
0
(
)
(
)
x
g x
Γ
=
.
d) Etablir que la fonction
Γ
est dérivable sur
×
+
¡
et que
1
g
Γ =
.On montrerait de même que la
fonction
Γ
est deux fois dérivable sur
×
+
¡
, et que
2
g
′′
Γ =
. Ce résultat est admis dans toute
la suite du problème.
2) Pour tout
n
de
×
¥
, on pose
1
1
ln
n
n
k
n
k
γ
=
= -
+
.
a) Etablir, pour tout entier
n
supérieur ou égal à
2
, la double inégalité suivante :
1
2
1
1
1
ln
n
n
k
k
n
k
k
-
=
=
<
<
En déduire que, pour tout entier naturel
n
non nul, on a
0
1
n
γ
<
.
b) Montrer que la suite
(
)
n
n
γ
×
¥
est décroissante et convergente. On note
γ
sa limite.
3)
a) Pour tout réel
x
strictement positif, et pour tout entier
n
strictement positif, montrer l'égalité :
1
(
1)(
2)...(
)
1
exp
exp(
)
!
n
n
x
k
x
x
x x
x
x
n
x
k
k
n n
γ
=
+
+
+
+
-
=
-
×
b) On pose
1
( )
1
exp
n
n
k
x
x
v x
k
k
=
= ∏
+
-
. Montrer que la suite
(
)
(
( )
n
n
v x
×
¥
est
convergente. On note
( )
x
l
sa limite. Montrer la relation :
exp(
)
( )
( )
x
x
x
x
γ
-
=
Γ
l
4)
a) Soit
x
un réel strictement positif fixé.
Montrer que la série de terme général
ln 1
,
1
x
x
n
n
n
-
+
, est convergente.
b) Justifier, pour tout réel
x
strictement positif, l'égalité :
(
)
1
ln
( )
ln 1
n
x
x
x
n
n
=
= -
-
+
l
En déduire, pour tout réel
x
strictement positif, la relation :
(
)
1
ln
( )
ln
ln 1
n
x
x
x
x
x
n
n
γ
=
Γ
= -
-
+
-
+
5) Soit
ψ
la fonction définie sur
×
+
¡
par
(
)
( )
ln
( )
d
x
x
dx
ψ
=
Γ
.Établir, pour tout réel
x
strictement positif l'égalité :
1
(
1)
( )
x
x
x
ψ
ψ
+
=
+
.Déterminer un équivalent simple de
( )
x
ψ
lorsque
x
tend vers
0
+
.Justifier, pour tout entier
n
supérieur ou égal à
2
, la formule :
1
1
1
( )
(1)
n
k
n
k
ψ
ψ
-
=
=
+
6) Pour tout entier
n
supérieur ou égal à
1
, on considère la fonction
n
U
définie sur
×
+
¡
par :
( )
ln 1
n
x
x
U
x
n
n
=
+
-
On désigne par
( )
A x
la somme de la série de terme général
( )
n
U
x
.
a) Montrer que
A
est deux fois dérivable sur
×
+
¡
. En particulier, exprimer, pour tout réel
x
strictement positif,
( )
A x
et
( )
A x
′′
en fonction de
( ),
( )
x
x
Γ
Γ
et
( )
x
′′
Γ
.
Soit
x
un réel strictement positif fixé. Montrer que, pour tout entier
k
supérieur ou égal à
1
, la série
de terme général
(
)
( )
k
n
U
x
est absolument convergente.
b) Dans toute la suite du problème, on admet les deux résultats suivants : pour tout réel
x
strictement positif on a
1
1
( )
( ) et
( )
( )
n
n
n
n
A x
U
x
A x
U
x
′′
=
=
′′
=
=
c) Calculer
(1)
ψ
en fonction de
γ
. En déduire la valeur de
lim ln
( )
n
n
n
ψ
→ +∞
-
.
7) On veut établir dans cette question que pour tout réel
y
strictement positif, on a
1
( )
y
y
ψ
>
.Soit
x
un réel strictement positif fixé. On considère la fonction
G
définie sur
×
+
¡
qui, à tout réel
t
strictement positif, associe
2
1
( )
(
)
G t
t
x
=
+
.
a) Montrer que sur
×
+
¡
,
G
est positive, strictement décroissante, et que l'intégrale
1
( )
G t dt
+∞
est convergente.
b) En déduire la double inégalité :
1
1
0
( )
( )
k
G t dt
G k
+∞
=
<
<
.
c) Etablir l'inégalité :
2
1
1
( )
1
x
x
x
ψ
>
+
+
. Conclure.
Partie III : Estimation des paramètres d'une loi
( ,
)
r
θ
Γ
On considère une variable aléatoire
X
, qui suit une loi
( ,
)
r
θ
Γ
, les deux paramètres
inconnus
θ
et
r
étant des réels strictement positifs. Une densité
f
de
X
est
donnée par :
1
1
exp
si
0
( )
( )
0
si
0
r
r
x
x
x
f x
r
x
θ
θ
-
-
>
=
Γ
Soit
p
un entier supérieur ou égal à
2
. On considère un
p
-échantillon i.i.d.
1
2
(
,
,...,
)
p
X
X
X
de la loi de
X
: les variables aléatoires
1
,...,
p
X
X
sont
mutuellement indépendantes et de même loi que
X
.
On désigne par
1
,...,
p
x
x
, un
p
-échantillon de réalisations des variables aléatoires
1
,...,
p
X
X
, respectivement; les réels
1
,...,
p
x
x
sont fixés, strictement positifs et non
tous égaux.
Soit
L
la fonction (appelée fonction de vraisemblance) définie sur
×
×
+
+
×
¡
¡
à valeurs
dans
×
+
¡
×
+
n
qui, à tout couple
( ,
)
r
θ
de réels strictement positifs, associe :
1
( ,
)
(
)
p
i
i
L
r
f x
θ
=
=
On pose
(
)
( ,
)
ln
( ,
)
F
r
L
r
θ
θ
=
.
1) Montrer que la recherche du maximum de
L
sur
×
×
+
+
×
¡
¡
est équivalente à la recherche du
maximum de
F
sur ce même ensemble.
2)
a) Etablir l'existence sur
×
×
+
+
×
¡
¡
des dérivées partielles d'ordre
1
et
2
de la fonction
F
. Les
calculer.
b) Montrer que les éventuels points critiques
(
,
)
r
θ
*
*
vérifient le système
( )
S
d'équations
suivant
1
(1)
( )
( )
1
ln
ln
ln
(2)
( )
p
i
i
x
x
S
r
r
x
x
r
p
θ
*
*
*
=
=
Γ
-
=
-
Γ
dans lequel
1
1
p
i
i
x
x
p
=
=
.
3) On pose
1
1
ln
ln
p
p
i
i
K
x
x
p
=
=
-
.
a) Justifier, pour tout réel
0
x
>
et différent de
1
, l'inégalité :
ln
1
x
x
<
-
. En déduire que
0
p
K
>
.
b) Soit
h
la fonction définie sur
×
+
¡
par :
( )
( )
ln
( )
p
y
h y
y
K
y
Γ
=
-
-
Γ
Étudier les variations de
h
et dresser son tableau de variations.
c) Montrer que l'équation (2) admet sur
×
+
¡
une unique solution
r
*
. En déduire que le système
d'équations (S) admet une unique solution
(
,
)
r
θ
*
*
.
Ecrire la hessienne
2
F
de
F
au point
(
,
)
r
θ
*
*
.En déduire qu'au point
(
,
)
r
θ
*
*
, la fonction
L
admet un maximum local.
4)
On peut démontrer qu'en ce point, on obtient en fait un maximum global de
L
. On dit que le couple
(
,
)
r
θ
*
*
est une estimation du couple inconnu
( ,
)
r
θ
obtenue par la méthode du maximum de vraisemblance.
Partie IV : Estimateur sans biais de l'écart-type
σ
d'une
loi normale centrée
Soit
X
une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée et d'écart-type
σ
; le
paramètre réel inconnu
σ
, est strictement positif.
1) Montrer que la variable aléatoire
2
2
2
X
T
σ
=
suit une loi
γ
de paramètre
1/ 2
. En déduire la valeur
de
(1/ 2)
Γ
.
2) Pour
n
entier naturel non nul, on considère un
n
-échantillon
1
2
(
,
,...,
)
n
X
X
X
i.i.d.
(indépendant, identiquement distribué) de la loi de
X
.
a) On désigne par
n
S
la variable aléatoire
2
2
1
2
n
i
n
i
X
S
σ
=
= ∑
. Quelle est la loi de probabilité de
n
S
?
b) En déduire que la variable aléatoire
n
Y
définie par
2
1
1
n
n
i
i
Y
X
n
=
=
est un estimateur sans biais
de
2
σ
.
3)
a) Montrer que l'espérance de
n
Y
, notée
(
)
n
E
Y
, vérifie :
(
)
n
E
Y
σ
<
.
b) Donner l'expression de
(
)
n
E
Y
en fonction de
n
et
σ
.
c) Montrer que la variable aléatoire
º
n
σ
définie par
º
1 / 2
2
1
2
n
n
n
i
i
X
λ
σ
=
=
n
λ
a été défini dans la question I.2.d, est un estimateur sans biais du paramètre
σ
.
4)
a) Calculer la variance
º
(
)
n
V
σ
de l'estimateur
º
n
σ
en fonction de
n
et
σ
.
b) La suite
º
(
)
n
n
σ
×
n
d'estimateurs de
σ
converge-t-elle en probabilité vers
σ
?
Un pour Un
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