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Mathématiques II 1999 BTS Informatique de gestion

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Examen du Supérieur BTS Informatique de gestion. Sujet de Mathématiques II 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 1999 sur Bankexam.fr.
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BTS INFORMATIQUE DE GESTION
SESSION 1999
EF2
:
MATHÉMATIQUES II
Durée : 1 heure
Coefficient : 1
ÉPREUVE
FACULTATIVE
Le (la) candidat (e) doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des calculatrices est autorisé.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
EXERCICE N° 1
(10 points)
Soit
f
la fonction définie sur l'ensemble
R
des nombres réels par
(
)
1
e
)
(
+
=
x
x
f
2x
-
.
1. -
Démontrer que le développement limité d’ordre 3 de
f
au voisinage de 0 est :
( )
( )
x
x
x
x
x
f
ε
3
3
3
2
1
+
+
-
=
, avec
0
)
(
lim
0
=
x
x
ε
.
2. -
a)
Calculer la valeur exacte de l’intégrale
-
+
-
=
5
0
5
0
3
d
3
2
1
,
,
x
x
x
J
.
b)
A l’aide d’une intégration par parties, calculer la valeur exacte de l’intégrale
( )
-
=
5
0
5
0
d
,
,
x
x
f
I
.
c)
Déduire des résultats précédents que
J
est une valeur approchée de
I
à 10
2
-
près.
BTS INFORMATIQUE DE GESTION
EF2 – MATHÉMATIQUES II
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EXERCICE N°2
(10 points)
Une machine produit en grande série des pièces rectangulaires.
On désigne par
X
la variable aléatoire, qui, à chaque pièce tirée au hasard dans la production, associe sa
longueur, exprimée en millimètres.
.
1. -
On admet que
X
suit une loi normale de paramètres
m
=
61 5
,
et
σ
=
0 4
,
.
Une pièce est acceptable si sa longueur est comprise entre 60,4 mm et 62,6 mm.
On prélève au hasard une pièce de la production.
Calculer, à
3
10
-
près, la probabilité pour qu’elle soit acceptable.
2)
On désigne par
X
la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 pièces prélevées au hasard et
avec remise dans la production, associe la moyenne des longueurs des pièces de cet échantillon.
a)
Quelle est la loi suivie par
X
?
b)
On désire tester le réglage de la machine.
Pour cela, on effectue des tirages non exhaustifs d’échantillons aléatoires de 100 pièces et
on calcule la moyenne de ces échantillons.
Construire un test bilatéral permettant d’accepter ou de rejeter, au risque de 5 %, à partir
d'un tel échantillon, l’hypothèse selon laquelle la machine est bien réglée.
On prélève un échantillon de 100 pièces, on trouve une moyenne
x
=
61 3
,
mm. Mettre en
oeuvre le test précédent avec cet échantillon et conclure, vis-à-vis du réglage de la
machine.