La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
On considère un combat entre trois tireurs A, B, C, qui se déroule en une suite dépreuves de la façon suivante, jusquà élimination dau moins deux des trois tireurs :
Tous les tirs sont indépendants les uns des autres. 2 .Lorsque A tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 3 1 Lorsque B tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à. 2 1 .Lorsque C tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 3 Lorsque quun des tireurs est atteint, il est dénitivement éliminé des épreuves suivantes.
A chacune des épreuves, les tireurs non encore éliminés tirent simultanément et chacun deux vise le plus dangereux de ses rivaux non encore éliminés.
(Ainsi, à la première épreuve, A vise B tandis que B et C visent A). Pour tout nombre entiern>1, on considère les événements suivants : ABCn: à lissue de lan-ième épreuve, A, B et C ne sont pas encore éliminés . ABnà lissue de la: n-ième épreuve, seuls A et B ne sont pas encore éliminés . On dénit de façon analogue les événementsBCn, etCAn. An: à lissue de lan-ième épreuve, seul A nest pas éliminé . On dénit de façon analogue les, événementsBnetCn. ;nà lissue de la: n-ième épreuve, les trois tireurs sont éliminés . Enn,ABC0est lévénement certain,AB0,BC0,CA0,A0,B0,C0,;0lévénement impossible.
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PARTIE 1 On établit dans cette partie1quelques résultats probabilistes préliminaires. 1. Calculde probabilités
(a) Exprimer,siUetVdésignent deux événements quelconques dun espace probabilisé donné, la proba-bilitép(U[V)de lévénementU[Ven fonction dep(U),p(V)etp(U\V). (b) Endéduire la probabilité pour quà une épreuve à laquelle participent A, B, C : (A rate son tir) et (B ou C réussissent leur tir). (c) Endéduire la probabilité pour quà une épreuve à laquelle participent A, B, C : (A réussit son tir) et (B ou C réussissent leur tir).
2. Déterminationde probabilités conditionnelles
(a) Montrerque lévénementABnest impossible pour tout nombre entier natureln. Dans la suite, on ne considérera donc que les événementsABCn,BCn,CAn,An,BnCn,;n. (b) Expliciterla probabilité conditionnellep(ABC =ABC). n+1n (c) Expliciterp(BCn+1=ABCn)à laide de la question 1, puis donnerp(CAn+1=ABCn). (d) Expliciterp(An+1=ABCn),p(Bn+1=ABCn)etp(Cn+1=ABCn). (e) Expliciterp(An+1=CAn),p(Bn+1=BCn),P(Cn+1=CAn)etp(Cn+1=BCn). (f) Expliciterp(;n+1=ABCn),P(;n+1=BCn)etp(;n+1=CAn).
3. Nombremoyen dépreuves à lissue desquelles sachève le combat On noteTla variable aléatoire indiquant le nombre dépreuves à lissue duquel cesse le combat, cest à dire au delà duquel il ne reste quun tireur au plus.
(a) Quelleest la probabilité de lévénementT= 1? (b) Soitn>2. Calculerla probabilité de lévénement suivant :
ABC1\ABC2\:::ABCn1\ABCn
(c) Soitn>2la probabilité de la réunion des événements suivants pour. Calculer06k6n1
ABC1\:::\ABCk\CAk+1\:::\CAn
(pourk= 0, il sagit de lévénementCA1\CA2\:::\CAn) (d) Soitn>2la probabilité de la réunion des événements suivants pour. Calculer06k6n1:
ABC\:::\ABC\BC\:::\BC 1k k+1n
(pourk= 0, il sagit de lévénementBC1\BC2\:::\BCn) (e) Soitn>2la probabilité. Calculerp(nT >)pour que le combat ne soit pas terminé à lissue de la n-ième épreuve, et en déduire la probabilitép(T=n)(on vériera que cette formule redonne bien pour n= 1le résultat obtenu à la question 3a. (f) Vérierque la somme de la série de terme généralp(T=n)(avecn>1) est égale à 1, puis déterminer sous forme de fraction irréductible lespéranceE(T)de la variable aléatoireT.
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PARTIE Il Dans cette partie, on détermine les probabilités pour que A, B, C remportent le combat. 1. Expressionde la matrice de transitionM (a) Onconsidère la matrice-colonneEnà sept lignes dont les sept éléments sont dans cet ordre, du haut vers le bas,p(ABCn),p(BCn),p(CAn),p(An),p(Bn),p(Cn),p(;n). Expliciter une matriceMcarrée dordre 7 vériant pour tout nombre entier natureln: En+1=M En: On vériera que la somme de chacune des sept colonnes de cette matrice M est égale à1 (b) EndéduireEnen fonction den, deMetE0. 2. Calculdes puissances de la matriceM 0 (a) Onconsidère deux matrices carrées dordre 3 notéesU,U"et deux matrices rectangulaires à 4 lignes 0 et 3 colonnes notéesV,V"et lon forme les matrices carrées dordre 7 0 U OU"O 0 00 M=; M= 0 V I4V"I4 oùOdésigne la matrice nulle à 3 lignes et 4 colonnes etI4la riatrice-identité dordre4. Vérier à laide des règles du produit matriciel légalité suivante : 0 U O 0 M M" = 0 V U" +V"I4 U O (b) Expliciterles matricesUetVtelles que :M= V I4 U O n (c) Etablirenn par récurrence surn>1légalité suivante :M= n1 V+V U+::+IV U4 3. Diagonalisationde la matriceU (a) Déterminer les valeurs propres1; 2; 3deUavec1< 2< 3et les vecteurs propres associés V ;V ;Vtels que : 1 2 3 lapremièrecomposante deV1vaut1. latroisièmecomposante deV2vaut1. ladeuxièmecomposante deV3vaut1. (b) OnnotePla matrice dordre3dont les vecteurs-colonnes sont, dans cet ordre,V1; V2; V3. Expliciterla 11 matrice inversePet préciser la matriceD=P UP. 4. Calculde la limite des puissances de la matriceM n2n1 (a) Expliciterles matricesDetI3+D+D+:::+D. (b) Ondit quune suite de matrices(Xn)àplignes etqcolonnes converge vers une matriceXàplignes etqcolonnes si chaque coe¢ cient de la matriceXnconverge quandntend vers+1vers le coe¢ cient correspondant de la matriceX. On admettra (sous réserve dexistence) que la limite dun produit est le produit des limites.Expliciter à n2n1 laide des résultats précédents les limites des deux suites matricielles(D)et(I3+D+D+:::+D), n2n1 2n1 puis des trois suites matricielles(U),(I3+U+U+:::+U)et(V+V U+V U+:::+V U). n (c) Endéduire enn les limites des deux suites matricielles(M)et(En). (d) Vérierque les suites(p(ABCn)),(p(BCn))et(p(CAn))convergent vers0et expliciter sous forme dune fraction irréductible les limites des suites(p(An)),(p(Bn)),(P(Cn)),(P(;n)).Comparer les probabilités respectives pour que A, B, C remportent le combat.