Mathématiques II 2001 Classe Prepa HEC (S) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques II 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2001 sur Bankexam.fr.

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• 2001
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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 51
• Langue: Français

Extrait

HEC 2001, math2, option scientifique L’objetduprobl`emeestl’´etudedequelquesaspectsdelathe´orieclassiquedurisquedontle contexteetlesnotationssontintroduitsaufuret`amesure. Danstoutleprobl`eme,onconsid`eredeuxsuitesdevariablesal´eatoiresre´elles(Δ n ) n∈N et ∗ (C n ) n∈N seemecapborplibaefid´esnirusuˆenmis,´e(Ω,B, Panivsunsstefiinaltseocdntioi),v´er ∗ i)lesvariablesale´atoiresΔ 1 ,Δ 2 , . . . ,Δ n , . . . , C 1 , . . . , C n . . .s,teepe´nadnnosdnit ii)lesvariablesal´eatoiresΔ 1 ,Δ 2 , . . . ,Δ n , . . .sontstrictementteouttonetesivitsopeˆemlsma densite´´egalesur]0,+∞nepoexreedllientare´pse’lage´ecnensialad’unet´edbaelavirtaiolae´e`a[1`, iii)lesvariablesal´eatoiresC 1 , C 2 , . . . , C n , . . .ttnoetuomalsemeˆenavuqu’tie´edsnoire´eatlealriab exponentielled’esp´erancee´gale`ac. On poseT 0 = 0 et, pour tout entier naturelnnon nul, on noteT n rapiirataoreeaabl´liefin´aevedl n X T n = Δ i i=1 On observera que la suite (T n ) n∈N est strictement croissante et que, pour tout entier natureln, onal’´egalite´:Δ n+1 =T n+1 −T n . On noteraE(Xetoirl´ealbaeraainuveec’danerp´esl’)Xefinid´ruseΩ(,B, P). ´ PartieI:Etuded’unevariableal´eatoire 1)Pour tout entier natureln,d´eterirepse´arcnimenlre’nciaeledtleearav´laeotaeravalbaiT n . 2)Soittunr.nuluitofopise´le a)Pour tout entier naturelnemtnus´preeirua`etcirtst,justifierl’incloisutnene´erne´venem:ts [T n < t]⊂[|T n −n|>n−t] ` b)A’ldel’aidegaliin´eeiBede´tT-e´myanheycebchedd´env,murlelidereuivalaP([T n < t]). n→+∞ +∞ \ c)[nete´´vnemeirequel’End´eduT k < t.ellune´tilibaobprdest]e k=1 ´ 3)Soitt´nno´nuee´letnemnadt.tEnuluitofposi´eelunrωde Ω, on noteN(t)(ω) le plus grand´el´ementdel’ensemble{n∈N/T n (ω)6t}(qui contient 0) si cet ensemble est fini, et N(t)(ω) = 0 sinon. On observera que, pour tout entier naturelnnon nul,N(ta`lage´tse)nsi et seulement si : T n 6t < T n+1 . Montrer que l’applicationN(tiravelbase)enuttaiolae´eeller´rrifiaev´ent: P([N(t) = 0]) =P([T 1 > t]) . 4)a)Pour tout entier naturelndiolvaleairaaelbeal´irtoennounl,reconnaˆıtrelaT n . b)SoittleaturierntentrtouuoP.fitisoptnemectristel´enruntsfii,lujnounnt´lie:l’erga´e n Z X k− t t n te (t−u) −t u 1 =+ ee du k!n! 0 k=0 n X k−t te Ende´duirel’´egalite´:P([N(t)6n]) = k! k=0 c)uortuotrPe´letounuitifconnl,reepsoiaareableal´irtotıˆaalerdiolvaleN(t). ´ PartieII:Etudedelaprobabilit´ed’ˆetreende´ficitapre`slepremieroulesecondsinistre Danscettepartieonconsid`eredeuxre´elsaetr,rlottu´reeitisoptnruop,teftsanet´meteictr N(t) X positift, on noteK a (t)lave´:latirlpaeg’´´eediefinae´lriotairaaelbK a (t) =a+rt−C i en i=1 N(t) X convenant que la sommeC i est nulle lorsqueN(t) est nul. i=1

En particulier,K a (T 0 ) =K a (0) =aet, pour tout entier naturelnnon nul, puisqueN(T n ) =n, n X K a (T n ) =a+rT n −C i i=1 Par exemple,K a (t)al´eatoicapital(spera)tumeporaurtneselreertie´rptd’une compagnie d’assurancedisposantd’uncapitalinitial(demontanta´eventuellementne´gatif),percevantdes primes(demontant´egal`arcivsemitsedssiniestrparunit´eedetpm)se,itdnmenisantdesassur´e decoˆutsal´eatoires(lesC i m-selles´lasemeˆesirtoeaes(l)usant`rvendateadesT i ). Dans cette partie,el´reelablial´ea,l´earave´attnxfiotaeeriK a (tmpleussieeplnot´)aresemtn K(t). 1)a)sienedunerinrmte´tilibaborpede´ttoeaeirlDedee´ravalbai´lae−rΔ 1 . b)it´edeprobabilittereimenurenedsnD´e´f, continue surRaravel,dl´eabliarieaeot L 1 =C 1 −rΔ 1 . c)nd´eEel’eduirionape´titroitcrednelndonafrexpiossFde la variableL 1 e´agil´tupsi’le:  r a   1−siexp( )a60 c+r r P[K(T 1 )<0] = c−a exp( )sia >0 c+r c 2)On poseL 2 =C 2 −rΔ 2 tenodie`ocsnfoncrelationga`tnaicoee´rtuotlassxeer´lel g(x) =P([L 1 6x]∩[L 1 +L 2 6a]) a)Pourtoutr´eelh´esalitn´egrtsetcitnemisopf,tistjuerifisile g(x+h)−g(x)>P([x < L 1 6x+h])P([L 2 6a−x−h]) et g(x+h)−g(x)6P([x < L 1 6x+h])P([L 2 < a−x]) b)ncfoontieqirlaueEdne´udgubsaevtiiao`redltsere´rdRtrourtouel´ep,cevax, 0 g(x) =f(x)F(a−x). d 0 On admetquegstd´evireelbarusRou,pourt´etrelcevax,g(x) =f(x)F(a−x). 3)a)Prouverl’´eet´liga P([L 1 6a]∩[L 1 +L 2 6a]) =limP([−n < L 1 6a]∩[L 1 +L 2 6a]) n→+∞ b)´ddenEligae:t´reui´el’ Z a P([L 1 6a]∩[L 1 +L 2 6a]) =f(x)F(a−x) dx −∞ ´ c)ea´t:lsbriel´sgelatEi Z a P([K(T 1 )<0]∪[K(T 2 )<0]) = 1−f(x)F(a−x) dx −∞ et Z a P([K(T 1 )<0]∪[K(T 2 )<0]) =P([L 1 > a]) +f(x)P([L 2 > a−x]) dx −∞ 4)Elensdae,irdu´endga´et´liecaso`uaestunr´eeplsotifiuoun,l’l    c arc−a P([K(T 1 )<0]∪[K(T 2 )<0]) =1 ++ exp 2 c+r c+r(c+r)c

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