Mathématiques II 2002 BTS Informatique de gestion

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Examen du Supérieur BTS Informatique de gestion. Sujet de Mathématiques II 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2002 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2002

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 juin 2007
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Français

Extrait

BTS INFORMATIQUE DE GESTION

SESSION 2002

EF2

:

MATHÉMATIQUES II

Durée : 1 heure

Coefficient : 1

ÉPREUVE

FACULTATIVE

Le (la) candidat (e) doit traiter tous les exercices.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements

entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'usage des calculatrices est autorisé.

Le formulaire officiel de mathématique est joint au sujet.

EXERCICE N° 1

(10 points)

S

oit

f

la fonction définie sur ]

1

-

; +

∞

[ par :

( )

(

)

(

)

3

ln 1

.

f

x

x

x

=

+

+

On désigne par (

C

) la courbe représentative de

f

dans un repère

(

)

, ,

O i j

r r

orthonormé.

1)

a) Montrer que le développement limité d’ordre 2, au voisinage de zéro, de la fonction

f

est :

( )

( )

( )

2

2

0

1

3

avec

lim

0.

2

x

f

x

x

x

x

x

x

ε

ε

→

=

-

+

=

b) Déduire de la question précédente une équation de la tangente (

T

) à (

C

) au point d’abscisse zéro

et la position relative de (

C

) et (

T

) au voisinage de ce point.

2)

a) A l’aide d’une intégration par parties calculer la valeur exacte de l’intégrale :

I

=

(

)

2

1

2

ln d

t

t

t

+

∫

.

b) En déduire, en utilisant le changement de variable défini par

1

t

x

= +

, la valeur exacte

de l’intégrale :

J

( )

1

0

d .

f

x

x

=

∫

BTS INFORMATIQUE DE GESTION

EF2 – MATHÉMATIQUES II

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EXERCICE N°2

(10 points)

On considère l’équation différentielle :

( E )

4

10

' 3

0

y

y

+

=

où

y

est une fonction de la variable

t

, définie et dérivable sur

¡

.

1)

a) Résoudre l’équation différentielle ( E ).

b) Déterminer la solution particulière

f

de ( E ) telle que

f

( 0 ) = 1.

2)

On désigne par T la variable aléatoire qui mesure, en heures, la durée de fonctionnement sans

panne d’un appareil ménager.

On admet que pour tout réel

t

positif ou nul, la probabilité pour que T soit supérieur à

t

est

donnée par

( )

,

f

t

c’est à dire que :

P ( T

≥

t

) =

0,0003

e

t

-

.

a)

Donner la moyenne des temps de bon fonctionnement ( M T B F ).

(on donnera le résultat sous sa forme arrondie à l’unité près)

b)

Calculer à

3

10

-

près la probabilité pour que l’appareil ménager tombe en panne avant 200

heures d’utilisation.

c)

Calculer l’instant

t

où la fiabilité est égale à

1

2

, c’est-à-dire l’instant

t

où on a

P ( T

≥

t

) = 0,5.

On donnera le résultat sous sa forme arrondie à l’heure près.

Comment peut-on interpréter ce résultat ?

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BTS

Informatique de Gestion

Session 2002

Corrigé de l’épreuve de mathématiques EF2

Sujet

A

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CORRIGE DU SUJET :

A

BTS INFORMATIQUE DE GESTION

SESSION 2002

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

EF2

Question

Correction

Barème

proposé

Exercice I

1)a)

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

1

1

0

2

2

1

2

2

2

0

2

2

0

ln 1

avec

lim

0

(l'ordre 1 suffirait).

2

On en déduit :

3

2

3

3

, avec

lim

0

2

1

3

, avec

lim

0.

2

x

x

x

p x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

→

→

→

+

=

-

+

=





=

+

-

+









=

+

-

+

=

=

-

+

=

14 2 43

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

2

1)b)

L’équation cherchée de la tangente correspond à la partie d’ordre 1 du développement

précédent et est donc :

3 .

y

x

=

La position de cette tangente par rapport à la courbe est donnée par le signe de la

différence

( )

3

f

x

x

-

, c’est-à-dire en utilisant le développement précédent, le signe de

2

1

2

x

-

. Au voisinage de l’origine, la tangente est toujours au-dessus de la courbe.

3

2)a)

Posons, pour le calcul de I

:

( )

( )

( )

( )

2

1

'

lnt

1

'

2

2

2

u

t

u t

t

v

t

t

v t

t

t



=



=







⇒





=

+







=

+





, on obtient :

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

I

2

ln

2

dt

2

ln

2

.

2

2

2

4

t

t

t

t

t

t

t

t

t





















=

+

×

-

+

=

+

×

-

-









































∫

On trouve

11

I

6ln2

.

4

=

-

2,5

2)b)

Avec

1

, on a : d

d et 3

2

.

t

x

t

x

x

t

=

+

=

+

=

+

Si

x

= 0,

t

= 1. Si

x

= 1,

t

= 2.

On a finalement J = I =

11

6 ln2

4

-

.

2,5

Exercice II

1)a)

La solution générale de (E) est donc :

(

)

3

4

0,0003

10

e

e

où

est une constante réelle quelconque.

t

t

y

k

k

k





-









-





=

×

=

×

2

1)b)

Pour

t

= 0,

y

=

k

donc

k

= 1.

L’unique solution cherchée est donc la fonction définie par

( )

(

)

0,0003

e

.

t

f t

-

=

1

2)a)

La MTBF est

1

λ

, avec ici

0,0003

λ

=

. La MTBF est donc égale à

10000

3

, c’est-à-dire

à

3333 pour sa valeur arrondire à l’unité près.

2

2)b)

La valeur demandée est

(

)

0,0003 200

1

200

1

e

0,058.

f

-

´

-

=

-

=

2

2)c)

(

)

0,0003

1

ln2

e

2310

2

0,0003

t

t

-

=

Û

=

=

(valeur décimale arrondie à l’heure près).

La probabilité pour que l’appareil soit encore en marche au bout de 2310 heures est égale

à 0,5.

3