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Mathématiques II 2002 Classe Prepa HEC (ECS) European School of Management

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Examen du Supérieur European School of Management. Sujet de Mathématiques II 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2002 sur Bankexam.fr.
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 2002
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
On appelledurée de viedun composant électronique la durée de fonctionnement de ce composant jusquà sa première panne éventuelle.On considère un composant électronique dont la durée de vie est modélisée par une variable aléatoireTdénie sur un espcae probabilisé(;B; P);à valeurs dansR+: SiFest la fonction de répartition de cette variable aléatoire, on appelleloi de surviedu composant la fonctionD dénie surR+par : 8t2R+; D(t) = 1F(t): Le problème se compose de deux parties pouvant être traitées indépendamment.
Partie 1 :Cas discret
On suppose dans cette partie queTest une variable aléatoire à valeurs dansNqui vérie, pour tout entier natureln; D(n)6= 0:
A. Coe¢ cient davarie
Le composant est mis en service à linstantt= 0:Pour tout entier naturelnnon nul, on appellecoe¢ cient davarieà linstantndu composant, la probabilité quil tombe en panne à linstantn;sachant quil fonctionne encore à linstantn1;cest-à-dire le nombrendéni par légalité :
n=P([T=n]=[T >n1]):
1. Exprimer,pour tout entier naturel non nuln;la probabilitéP([T=n])à laide de la fonctionD: En déduire légalité : D(n1)D(n) n=: D(n1)
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2. Onsuppose quepest un réel de lintervalle]0; 1[et queTsuit la loi géométrique de paramètrep: (a) Quelleest lespérance de la variable aléatoireT? (b) Calculer,pour tout entier naturelnnon nul,D(n)en fonction den: (c) Endéduire, pour tout entier naturel non nul, légalité:n=p: 3. Réciproquement,on suppose dans cette question quil existe un réel strictement positiftel que lon a :8n2N; n=: (a) Etablir,pour tout entier naturel non nuln;légalité:D(n) = (1):D(n1): (b) Endéduire queTsuit une loi géométrique et préciser son paramètre. B. Nombres de pannes successives dans le cas dune loi géométrique Un premier composant est mis en service à linstant0et, quand il tombe en panne, est remplacé instanta-nément par un composant identique qui sera remplacé à son tour à linstant de sa première panne dans les mêmes conditions, et ainsi de suite. On suppose à nouveau, dans cette partie, quepest un réel de lintervalle]0; 1[et queTsuit la loi géométrique de paramètrepet que, pour tout entier strictement positifi;la durée de vie dui-ème composant est une variable aléatoireTidénie sur(;B; P);de même loi queT: Les variables aléatoiresTisont supposées mutuellement indépendantes et, pour tout entier naturelknon k P nul, on pose:Sk=Ti: i=1 (Skdésigne donc linstant où se produit lak-ème panne et lek-ème remplacement.) 1. SoitmDémontrer par récurrence surun entier naturel.n;pour tout entier naturelnvériantn>m; n P m m+1 légalité:C=C : j n+1 j=m (a) Déterminerla loi de la variable aléatoireS2égale àT1+T2: (b) Montrerpar récurrence que, pour tout entier naturel non nulk;la loi deSkest donnée par : k1k nk 8n>k; P([Sk=n]) =C p(1p): n1 2. Ondispose en PASCAL de la fonction "RANDOM" qui retourne un nombre de type "REAL" choisi au hasard dans lintervalle[0; 1[:Ainsi, sipest la probabilité de panne du composant à un instant donné, en faisant appel à la fonction "RANDOM", on obtient une simulation informatique de cette panne dans le cas où le nombre retourné par cette fonction est strictement inférieur àp: (a) Ecrireune fonction en PASCAL den-tête "FUNCTION NbP(p :REAL;n :INTEGER) : INTEGER;"
qui connaissant le nombre réelpet un nombre entier strictement positifn;simule lexpérience et retourne le nombre de pannes survenues jusquà linstantn: (b) Ecrireune procédure PASCAL den-tête
"PROCEDURE Arret(p :REAL; r :INTEGER);"
qui, connaissant le nombre réelpet un entier strictement positifr;simule lexpérience en larrêtant dès que le nombre de panne atteintret a¢ che la valeur de linstantnoù larrêt sest produit. 3. SoitnOn noteun entier strictement positif.Unla variable aléatoire désignant le nombre de pannes (et donc de remplacements) survenues jusquà linstantninclus. n (a) EtablirlégalitéP([Un= 0]) = (1p)et calculerP([Un=n]): (b) Exprimer,pour tout entier naturel non nulk;lévènement[Un>k]à laide dun évènement faisant intervenir la variable aléatoireSk:
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(c) Endéduire queUnloi la loi binomiale de paramètresnetp: 1 4. Danscette question, le nombrepest égal à: 200 On considère alors un appareillage électronique utilisant simultanément1000composants identiques fonctionnant indépendamment les uns des autres et dont la durée de vie suit la même loi queT:A chaque instant, les composants en panne sont remplacés par des composants identiques comme précédemment. (a) Préciserla loi de la variableUdésignant le nombre total de remplacements de composants e¤ectués jusquà linstantnégal à100inclus. (b) Ondésire quavec une probabilité de0;95;sant jusquàle stock de composants de rechange soit su¢ linstantnégal à100combien peut-on évaluer ce stock ?inclus. A r 995 On donne :'22;3;et, en désignant parla fonction de répartition de la variable aléatoire 2 normale centrée réduite,(1;65)'0;95:
Partie 2 :Cas continu
;continue su On suppose dans cette partie queTest une variable aléatoire de densitéfnulle surRrR+et strictement positive surR:
A. Loi de survie et coe¢ cient davarie
Pour tout réeltpositif, on appellecoe¢ cient davarieà linstanttle nombre(t)déni par :
f(t) (t) =: D(t)
1. Soittun réel positif. Pour tout réel strictement positifh;on noteq(t; h)la probabilité que le composant tombe en panne entre les instantstett+hsachant quil fonctionne encore à linstantt;cest-à-dire le nombreq(t; h) déni par : q(t; h) =P(T2]t; t+h]=[tT >]): D(t)D(t+h) (a) Etablirpour tout réelhstrictement positif, légalité :q(t; h) =: D(t) (b) Montrerque la fonctionDest dérivable surR+et préciser sa fonction dérivée. q(t; h) (c) Montrerque le rapporta pour limite(t)quandhtend vers0par valeurs supérieures. h 2. Onsuppose, dans cette question, queest un réel strictement positif et suit la loi exponentielle de paramètre: (a) Détermineralors la loi de survie du composant et donner lallure de sa courbe représentative. 1 (b) Etablir,pour tout réeltpositif, légalité(t) =;E(T)désigne lespérance de la variable E(T) aléatoiret: 3. Onsuppose dans cette question que la densitéfde la variable aléatoireTest dénie par : ( 2 t tesit>0 2 f(t) = 0sit <0:
(a) Vérierque la fonctionfainsi dénie possède les propriétés dune densité de probabilité. (b) Justierles égalités : +1+1 Z rZ 2 2 t t 2e dt= =dt:t e 2 2 2 0 0
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(c) Calculerlespérance de la variable aléatoireT: 2 (d) Montrerque la variable aléatoireTsuit une loi exponentielle et préciser son paramètre. En déduire la variance de la variable aléatoireT: (e) Déterminerla loi de survie du composant et donner lallure de sa courbe représentative en précisant 1 la tangente au point dabscisse0et le point dinexion.On donne :e2'0;607: (f) Calculer,pour tout réeltpositif, le coe¢ cient davarie(t): 4. On suppose dans cette question quil existe une constantestrictement positive telle que lon ait : 8t2R+; (t) =: t (a) Pourtout réeltpositif, on pose :g(t) =e D(t):Montrer que la fonctiongest constante surR+: (b) Endéduire queTsuit une loi exponentielle et préciser son paramètre. B. Entretien préventif On désire, dans cette partie, comparer le coût de deux méthodes dentretien. On suppose que la variable aléatoireTadmet une espérance (nécessairement strictement positive) notée E(T)et représentant donc la durée moyenne de fonctionnement dun composant. On considère que la panne dun composant provoque un préjudice de coûtC;et que son remplacement a un coûtK; CetKétant deux constantes strictement positives. Une premire méthode consiste à attendre la panne pour procéder au remplacement.On estime alors que K+C le coût de lentretien du composant par unité de temps est donné par :c1=: E(T) Une deuxième méthode dentretien consiste à se xer un réelstrictement positif et à remplacer le com-posant dès sa panne si elle survient au bout dune durée de fonctionnement inférieure à;sinon à le remplacer préventivement au bout dune duréede fonctionnement. On estime alors que le coût de lentretien du composant par unité de temps est donné en fonction depar : K+ (1D())C c2() =: R D(t)dt 0 1. Alaide dune intégration par partie, établir la formule :   Z Z f(t) D(t)dt=P([T >]):+P([T6]): tdt: F() 0 0 R LintégraleD(t)dtpeut donc sinterpréter comme la durée moyenne de fonctionnement du composant 0 dans la deuxième méthode. 2. Calculerc1et, pour tout réelstrictement,c2()dans le cas oùTsuit la loi exponentielle de paramètre : Montrer qualors la deuxième méthode ne présente pas davantage.Comment peut-on expliquer ce résultat ? 3. Onsuppose queTsuit la loi décrite dans la questionA.3 de laPartie 2. (a) Préciserla valeur dec1et montrer que lon a :limc2() =c1: !+1 2 2 Rt1   (b) Montrerque pout tout réel strictement positif;on pose :'() =dtC e(K+C(1e)): 2 2 0 Montrer que la fonction'est dérivable surRet que sa dérivée est strictement positive. + En déduire le tableau de variation de':
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(c) Etudierles variations de la fonctionc2et montrer quelle admet un minimum en0qui vérie : c()< c: 2 1 r 2K (d) Etablirlégalitéc2() =cC0puis linégalité0<)(1 +:  C (e) Onsuppose, dans cette question, queKetCsont tous deux égaux à1;et on donne : c2(1;5) = 1;5429etc2(1;45) = 1;5439: En déduire un encadrement de0damplitude0;1:
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