ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).
CONCOURS D’ADMISSION 2002
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Filière PSI (Durée de l’épreuve:3 heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 2-Filière PSI.
Cet énoncé comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Dans tout le problème,Iest le segment0, 1,fest une fonction réelle définie et continue sur le segmentI,pest une fonction définie et continue sur le segmentI, positive(pour tout réelxde I,px0). L’objet du problème est l’étude et l’approximation des solutions réelles, définies sur le 2 segmentIfois continûment dérivables (de classe, deuxC) des équations différentielles suivantes : E0u´´xpxux0,
Eu´´xpxuxfx. vérifiant, en outre, les conditions suivantes aux extrémités du segmentI: Cu00,u10. 2 Une fonctionu, de classeC, définie sur le segmentIles conditions, vérifiantC, est dite solution du problèmeP0si elle est solution de l’équation différentielleE0, respectivement solution du problèmePsi elle est solution de l’équation différentielleE.
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Première partie Exemples, rsultats gnraux. I-1.Exemples: Dterminer toutes les solutions de l'quation diffrentielleEvrifiant les conditionsCdans les deux cas suivants : a. La fonctionpest nulle et la fonctionfconstante et gale 1 : px0,fx1.
x b. La fonctionpest constante et gale 1 ; la fonctionfest la fonctionxeoùest un rel donn: x px1,fxe.
I-2.Unicitdes solutions: a. Soituune fonction solution de l'quationE0vrifiant les conditionsC; dmontrer que cette solutionuvrifie la relation : 1 2 2 uÂxpxuxdx0. 0 En dduire que la seule solution du problmeP0est la solution nulle. b. Dmontrer que, pour des fonctionspetfdonnes, il existe, au plus, une solution du problmeP. I-3.Existence d'une solution: a. tant donnes deux fonctionsu1etu2solutions de l' quation diffrentielleE0, soitgla fonction dfinie sur l' intervalleIpar la relation suivante : gxu10u2xu20u1x. Dmontrer que, si la fonctiongau point 1s' annulleg10, la fonctiongest nulle sur l' intervalleI. En dduire une condition ncessaire et suffisante sur les deux solutionsu1etu2pour que la fonctiongannulle pas en 1ne s'g10. Soientu1etu2deux solutions de l' quation diffrentielleE0,vquationune solution de l'E etetdeux scalaires. SoituetXla fonction et le vecteur dfinis par les relations suivantes : uxu1xu2xvx;X. b. Dmontrer que, pour que la fonctionusoit solution du problmeP, il faut et il suffit que le vecteurXvrifie la relation matricielle suivante : U.XB, oùUest une matrice carre d'ordre 2 etBun vecteur qui seront prciss. c. Dmontrer que le problmePadmet une solution unique.
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Deuxième partie Quelques proprits de certaines matrices deMnR. n Il est admis que l'application de l' espaceRdansR: Xxi X sup |xi|, 1in i1,2,...,n est une norme. Il est admis que l'application de l' espace des matrices carres d' ordren, MnRdansR: ANAsupA.X, X1 n xdeRses coordonnesest esxsont est une norme. Un vecteurXi1indit positif si touti positives ou nullesxi0crit :. Cette proprits' X0. Une matriceAadeMnRest dite positive si tous ses termesasont i ji j 1in, 1jn positifs ou nuls. Cette proprits' crit : A0. n tant donne la base canonique deR,e1,e2,,en, soitEle vecteur dont toutes les 1 1 coordonnes sont gales 1 :E. 1 II-1.Quelques proprits matricielles: SoitAaune matrice carre deMnR: i j 1in, 1jn a aa 1 11 21n a aa 2 12 22n A. a aa n1n2n n a. Dmontrer que, pour que cette matriceAsoit positive, il faut et il suffit que le vecteur n image de tout vecteur de la base canonique deRsoit positif.
n b. tablir la proprit: pour tout vecteurXdeR,
A.XNAX.
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c. Dmontrer, pour une matriceApositive, la relation : n NAsupai j. 1ji n1 Comparer les deux expressionsNAetA.E; en dduire la norme de la matriceA. d. SoitAune matrice deMnRun vecteurpossdant la propritsuivante : chaque fois qu'X n deRa une image positive (A.X0), le vecteurXest positif (X0). Dmontrer que la matrice 1 Aest injective puis qu'elle est inversible et que son inverseAest une matrice positive.
II-2.Un exemple: SoientAetHles deux matrices carres d' ordrensuivantes : Les termes de la matriceAsitus sur la diagonale principale sont gaux 2, ceux situs juste au dessus et juste au dessous 1, les autres sont nuls. La matriceHest diagonale et positive ; les termeshi, 1in, dela diagonale principale sont positifs ou nulshi0: 21 00h10 00 1 210 0h200 A01 20 ;H0 0h30 . 0 0 02 00 0hn
n a. SoitXun vecteur deRde coordonnesxi,i1, 2,,n, telque le vecteurAH.X soit positif. Dmontrer que le vecteurXun raisonnement par l' absurde, par exemple,aide d'est positif l' en compltant la suitexipar des termesx0etxn1nulsx0xn10en considrant, et 1in l' entierkpour lequel le relxkest gal au plus petit des relsxi, 0in1 : xkminxi. 0in1
b. Dduire du rsultat prcdent que les deux matricesAHetAsont inversibles. 1 II-3.Norme de la matriceAH: SoitVetWles deux vecteurs dfinis par les relations suivantes : 11 VAHE,WA E. a. Dmontrer que ces vecteurs sont positifs ainsi que le vecteurAWV. n b. Comparer les normes des deux vecteursVetW; en dduire : pour tout vecteurXdeR, 1 AH.XW X.
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II.4.Une majoration de la norme du vecteurW: SoitSl' ensembledes suites relles infiniesxkvrifiant, pourk0, la relation de k0 rcurrence suivante : xk12xkxk11. SoitS0l' ensembledes suites rellesxkvrifiant, pourk0, la relation de rcurrence k0 suivante : xk12xkxk10.
a. Dterminer les suites qui appartiennent l'espaceS0.
b. Dterminer une suiteykespaceappartenant l'Squi soit un monome du deuxime k0 degr:
2 yka k.
c. Dterminer les suites qui appartiennent l'espaceS; en particulier celles qui vrifient les deux conditions suivantes : x00,xn10.
1 d. Dterminer les coordonnes du vecteurWA E; en dduire que la norme de ce vecteur vrifie l'ingalitsuivante : 1 2 Wn1. 8
Troisième partie
Approximation de la solution du problmeP.
Dans toute la suite l' entiernest suprieur ou gal 3n3. Soithettk,k0, 1, 2,, nrels dfinis par les relations suivantes :1, les 1k h,tkh.k,k0, 1, 2,,n1. n1n1
III-1 Une approximation de la drive seconde: Soituune fonction quatre fois continûment drivable sur le segmentI. SoitMle maximum de la valeur absolue de la drive quatrime : 4 Msup |ux|. xI Soienttethdes rels tels que les relsthetthappartiennent au segmentI. Dmontrer l' existenced' unefonctionRdes relstethqui vrifient les relations suivantes : 4 2h uthuth2uth uÂtRt,h, |Rt,h|M. 12
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III-2.ProblèmePdiscrtis: a. Dmontrer que, si les deux fonctionspetfsont deux fois continûment drivables, la solutionudu problmePest quatre fois continûment drivable. n SoientXetYles vecteurs deRetHla matrice diagonale deMnRdfinis par les relations suivantes : 2 2 ut1ft1h pt1h00 2 2 ut2ft2h0pt2h0 X,Y,H. 2 2 utnftnh0 0ptnh
b. Dterminer, en dsignant toujours parAla matrice dfinie la question II-2, un majorant de la norme du vecteurZAH.XY, au moyen des relsMeth. SoitXle vecteur dfini par la relation suivante : 1 XAHY. c. Dmontrer la majoration : 2 XXK h, oKest une constante ; en donner une valeur l'aide deM. Donner une signification du vecteurX. Prciser comment ce vecteur se calcule. FIN DU PROBLÈME