Mathématiques II 2003 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques II 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2003
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 75
• Langue: Français

Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS D’ADMISSION

Option scientifique

MATHEMATIQUES II

Lapr´esentation,lalisibilit´e,l’orthographe,laqualite´delar´edaction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´esa`encadrerpudeissolelb´rseandamslureslaucsl.esultatsdeleursc Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautorise´e. Siaucoursdel’e´preuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurd’e´nonc´e,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilseraamene´a`prendre.

Leproble`mee´tudielesrudimentsdelaoinmmnucitacoladeieor´ethintroduite en 1948 par Claude Shannon.

Danstoutleprobl`eme,(Ω,A, P)pecapsenilibabords´e.eugnsi´e Partie I Introduction informatique Onrappellequelesentierscomprisentre0et31s’´ecriventavecauplus5chiffres en binaire, on a donc : Pour toutn∈[0,31]∩N, il existe une liste(a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , a 4 )esd´’d´eelntme{0,1}telle que 2 3 4deux n=a 0 +a 1 .2 +a 2 .2 +a 3 .2 +a 4 .2 =a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 . Cettee´crituredenest unique et on appellerabin(n)la liste(a 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 ). I.1)D´eterminerl’e´criturebinairede6puisbin(6)etd´eterminerbin(21)(onjustifieralesre´sultats). I.2)Onsouhaitee´crireuneproc´edurePascalpour obtenir bin(netrontvaesedureduiesC.)te´eplomc´roaprl qu’a`l’issuedel’ex´ecutiondebin(n) on ait un tableau L tel que L[1] contiennea 4 , L[2] contiennea 3 etc: Typeecriture = array[1..5] of integer Procedure; var L : ecriture)bin(n : integer vareltuenev*)ntmelemoca`*(r´rete´lpi,:intege begin fori :=1to5do;L[i] :=0 (*a`compl´eter*) L=1end; I.3)Onsouhaitenume´roterlescartesd’unjeustandardde32cartes.Onproposeci-apre`slaproc´edurecarte (quiutiliselaproc´edurebinpre´c´edente). Remarque : string senuetiuacedtcarre`euesqonlcesque`er(snertdeueaxpostrophes,onmete´dselengisesınaˆchctracade).

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Procedurecarte(n :integer) var fam : array[1..4] of string; val : array[1..8] of string; famille,valeur : string; L : array[1..5] of integer; begin fam[1]:=’tre`fle’;fam[2]:=’carreau’;fam[3]:=’coeur’,fam[4]:=’pique’; val[1] :=’sept’; val[2] :=’huit’; val[3] :=’neuf’; val[4] :=’dix’; val[5] :=’valet’; val[6] :=’dame’; val[7] :=’roi’, val[8] :=’as’; L :=bin(n); famille :=fam[2*L[1]+L[2]+1]; valeur :=val[4*L[3]+2*L[4]+L[5]+1]; writeln´mreetuncaraselt);o’,nuelav(,’leilam,fe’’dr, end; Quelleestlacartenume´ro6?Quiestlenum´ero1?Quelestlenum´erodeladamedecœur?

Partie II lbe`emteoidnpuorPositoitusnnoitlossesedncfochrecher Oncherchea`d´efinirunemesuredel’incertitudeurun´ev´enementd-ri,e´dfiein,ropa`-tse’c,tnemenev´´eund’A deprobabilite´nonnulle,unnombrere´eli(A)l’lee´a,ppincertitude deAouentropie deAtaecspreed`emlolentne, suivant : (i)Pourl’e´ve´nementcertainΩ,l’incertitudeestnulle:i(Ω) = 0. (ii) SiAl’etairertnoctnemene´ve´Auiprt´eqsonslaroel,sbobai(A) = 1. (iii) SiAetBstion´endndpetsanoprualrpbobaliti´ePet siP(A∩B)6= 0 alorsi(A∩B) =i(A) +i(B). (iv) SiP(A) =P(B)6= 0 alorsi(A) =i(B). Le dernier axiome (iv) signifie quei(A)peneen´dleer´duuedqp=P(A). II.1) Soitϕfenu]r0´efiniesuonctiond,avelrudssan]1a`Rementnn´ru´eevou.PAorpeibabdnenoil´t,enounll posei ϕ (A) =ϕ(P(A)). Montrer que siϕlefieri´etidionscno:sv ϕ(1) = 0etϕ(1/2) = 1(1) Pour toutp∈]0,1] ettoutq∈]0,1]ϕ(pq) =ϕ(p) +ϕ(q) (2) alorsi ϕ erv´iv).)et(iii(,)ii(,)i(efii II.2)Existe-t-ildesre´elsαetβpour lesquelsϕ:x7→αln(x) +β(1)et(2)v´erifie? α,β II.3) Soitϕ:]0,1]→Rune fonctioncontinue sur ]0,fiina´vrete2((t)1).et1] a)Montrer,`al’aided’unchangementdevariableaffine,quepourtoutp∈]0,1] : p 1 Z Z 1 1 ϕ(t)dt=ϕ(p) +ϕ(q)dq p2 p/2 1/2 b)End´eduirequeϕdtseire´lbavures]0,natre1vit,]ed´enp7→pϕ(pontrd´eme:,)erqu 1 Z 1 1 0 ∀p∈]0,1],−=pϕ(p) +ϕ(q)dq 2 2 1/2

0 c)End´eduirequ’ilexistealors(α, β) tel queϕ=ϕ(npo´disrererruonocadesionpresl’exϕ(p)en α,β fonction dep).

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II.4)Quepeut-onconcluredecette´etude?

Partie III ve´sededtnemene´Istutiernc ln(x) Danstoutelasuiteduproble`me, on noteraϕitnoofcnalur]0niesd´efi,1] parx7→ϕ(x) =−. ln(2) Pourun´eve´nementAedrpbobasopnennulle,oilit´enoi(A) =ϕ(P(A)) . III.1) Onchoisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. SoitAtnemenev´´el’«ir´eeestladamedeœcrutetracal». Que valentP(A) eti(A) ? × III.2) Soitn∈NetEauecavntvariec’´ssreitnesedelbmellspnseu’ntnle´neme´situchoie.Onnairneibrffsecih deEau hasard etAtlesev’´e´enemtn«le nombre obtenu est 0». Quel est le cardinal deE? Que valentP(A) eti(A) ? III.3) SoitAetBedxunemee´´vtsenlsteequA⊂BetP(A)6= 0. Compareri(A) eti(B). III.4) Quevaut lim + ϕ(xatlt?nodndrenreceuse´pr´etationpeut-oe)qteullietnre x→0

Partie IV ncIete`rcsieal´iabliredeatoutedreitvera’dnu Danstoutelasuiteduproble`menoalofcnitnsid`ere,oncohde´nfisuie0r[,1] par

h(0) = 0et pourx∈]0,1],

ln(x) h(x) =−x ln(2)

Pourunevariableale´atoirer´eelleXsfieei´ndΩe(treu`rcsid,A, P’dxesietcn:eno,)sepoussoesr´veer X H(X) =h(P(X=x)) x∈X(Ω)

H(X) est l’incertitude moyenne- ouentropie- deX. SiXniefinsneeblemvalest`aansuursd{x 1 , x 2 , . . . , x n },H(X) existe et, en notantp k =P(X=x k ), on a :

n n X X H(X) =h(P(X=x k )) =h(p k ) k=1k=1

× IV.1) Soitn∈N. SiU n suit la loi uniforme sur{1,2, . . . , n}, que vautH(U n ) ? IV.2) Sion supposeP(Y= 1) = 1/4, P(Y= 2) = 1/4 etP(Y= 3) = 1/2, que vautH(Y) ? Classer par ordre croissantH(U 2 ),H(U 3 ) etH(Y). IV.3)Ve´rifierquehest continue et positive sur [0,1]. ´ Est-ellede´rivableen0?Etudierhisensrcaedtseevit.esr´taenrboueper IV.4) SoitXbairaventae´laelva`areoiansdurlesnmeuusenin.lbfie Montrer queH(X)>´cevlagee´tie,iseutsmelesint,0aXest quasi-certaine. IV.5) Pourx∈[0,1], on poseh 2 (x) =h(x) +h(1−x). a) Pourx∈[0,1], on a clairementh 2 (x) =h 2 (1−xfienir´ceQu).igestnauala`luseqtatcourbedeh 2 dansunrep`ereorthonorme´? ´ b) Etudierh 2 et donner son graphe. c) SoitXirtouieseableal´venuairae`etraramidepoulleBnrioednuleavtnp∈]0,1[. Montrer queH(X)6egc´ve1aemtnis,alit´esi,etseulep= 1/2. IV.6) SoitX 1 etX 2 ifctpeessaparseederrs`mteind´ullidantepeniravelbaBedsonreuxdep 1 etp 2 . SoitZla variable de Bernoulli telle queP(Z= 1) =P(«X 1 +X 2 est impair»). Donnerlaloietl’espe´rancedeZ. En notantp=P(Z(r1oˆeltron,c1)=−2p) = (1−2p 1 )(1−2p 2 ).

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