Mathématiques II 2004 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques II 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2004
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 48
• Langue: Français

Extrait

ESSEC 2004, math 2, option scientifique Notations Danstoutleproble`me,nigned´estierunenerslanutiruepue´alegu´ro2.`a On noteE n ={1,2, . . . , n}=[1, n]] et Ω l’ensemble des permutations deE n . Pour tout ensemble finiA, on note Card(Anoacs)-`a-’estal,crdinesederbmonelerids.ntme´eels´ (   n! n k si 06k6n On note, ou C le nombre n k!(n−k)! k 0 sinon Partie I Pour toutω∈Ω, on appellepoint fixedeωtuot,neme´le´tk∈E n tel queω(k) =k. On appellemee´ganrtndetoute permutationω∈Ω telle que pour toutk∈E n ,ω(k)6=k. Ainsi unde´rangementestunepermutationsanspointfixe. On noteD n,0 ={ω∈Ω/∀i∈E n , ω(i)6=i}, et pour toutk∈E n D n,k ={ω∈Ω/ωadmet exactementkpoints fixes} Enfin, on noted n,0 = Card(D n,0 ) et pour toutk∈E n , d n,k = Card(D n,k ). 1)Montrer que [   D n,k =ω∈Ω/ω| I =Idetω| E n \I are´dnutsetenemng I⊂E n Card(I)=k ou`ω| I est la restriction de la permutationω`aI,Idese´letnrperontienideraptamuete,t´ti ω| E n \I est la restriction de la permutationω´lmeocpmrideneateauI.   n 2)opeuotrutundEdu´eeqirk∈E n ,d n,k =d n−k,0 . k 3)a)Soitω∈Ωnu´dreedtnemegnaE n . Soitj∈[1, n´end.O]]ntaoilpci’lpanfitiωf j surE n+1 par   ω(k) sik6∈ {j, n+ 1} ωf j (k) =nsi+ 1k=j  ω(j) sik=n+ 1 Montrerquel’ond´efinitainsiund´erangementdeE n+1 . b)Soitω∈Ω admettant un unique point fixej∈[1, n]]. Montrer queωf j tesusedssci-ie´nfid und´erangementdeE n+1 . c)erqreueldse´argnetmneonMtsdeE n+1 construits dans les questions 3.a) et 3.b) sont distincts,etquetoutd´erangementdeE n+1 coa¸n.teˆtuepnuteobreefttcede d)d´Enuieduqered n+1,0 =nd n,0 +d n,1 =n(d n,0 +d n−1,0 ). 4)Pour toutn>2, on poseu n =d n,0 −nd n−1,0 a)ete´Derrminu n+1 en fonction deu n , puisu n en fonction den. n b)´endirduueeqEd n,0 =nd n−1,0 + (−1) . d n,0 c)On posev 1 = 0 et pourn>2,v n i=nrmte´eD.erv n en fonction den, puis montrer que n!  k  n X (−1) d n,0 =n! k! k=0

Partie II Afindelancerunnouveauproduitsurlemarche´,leservicemarketingd’uneentreprisepropose audirecteurge´ne´rallacampagnesuivante •mettre en vente au prix unitaire debEuros,nexemplaires du produit, •´torfedeoc¸appanenard’tenounrembcahuqeeexmplaireseranum´et1erentserimpcon, •m´ero,ocesundnuortnuev´echsee,¸cfacaonteediu,trpdoerudplaiexemaquedechrueire´tni’la`

•aceluifigentique`runa`tadrueire´pmexe’lenneuirlaidro´eum’lcaruuqehetuveritro’inta`al l’exte´rieurgagneraBEuros. Onsupposequelesnume´roscach´essonttousdiffe´rents,comprisentre1etnet sont choisis au hasard. Avantdedonnersonaccord,ledirecteurg´ene´ralsouhaite´etudierlecouˆtd’unetellecampagne. hh ii Afindeformaliserlanotiondechoixauhasard,etpourtoutelasuiteduprobl`eme,onmunit   Ω, Ppaorabib()Ωdleete`rcisedrmfonieut´liPopeinfie´duturtoA⊆Ω par Card(A) P(A) = Card(Ω) Enfin, on noteX n alavlealriaboire´eatese´rperneltnatnegedbroms.ntnaag 1)a)denEtulisinaltesr´esultatsdelamerpre`irape,eitetd´mierrlneoialX n . ´ b)lirlEtabsteanusvi´tseagilsee´ n n−nk n−i X XX X i i 1 (−1) (−1) 1 = =1 k!i!i!k! k=0 i=0i=0 k=0 (onjustifierademani`erepr´ecisel’interversiondesdeuxsignessommes) 2)Cal’erullcrenase´pecE(X n ) et la varianceV(X n oiatre)alediravelbae´laX n (on pourra   d’abord calculerE X n (X n −1) ). 3)a)’lederiotae´latuoˆecelquertronMdtnoessepeirnerturl’onporatiop´eepn´ar

C n =nb−BX n Ende´duirelecouˆtmoyenE(C n ), ainsi que lerisquecer,a-otdyntne´aplr´’peσ(C n ). b)e`rpuovsaresa’d,seondidulas,epr´relae´´nuegrertcQuelle? 4)u’deriotae´laniaacntyaraeuetchnaelegerquontrMquisunseulproduiettsodnne´apr G n =BY n −bo`,uY n etr`eameunstravelbai´laeotaeuivaireselointunnruoedeBperalldi 1/n´end.Egeleriudneyomniaruet.’ledehca

Partie III 1)eatoiresablesal´deseavireualustintMorqre(X n ) converge en loi vers une loi de Poisson de parame`treλ= 1. 2)Montrer que pour toutk∈E n ∞ X −1i e 1(−1) P(X n =k)−=   k!  k!i!  i=n−k+1 ∗ 3)Soitm∈N. Montrer que ∞ ∞ X X 1 11 2 6 6 k i!m! (m+ 1)m! i=m k =0 4)´ddenEuqeiuer n −1n+2 X e 2 P(X n =k)−6   k! (n+ 1)! k=0 5)iuavtnsePssaacsle`disnocnOontiuctrnssilere eps := 0.00001; x:= 2; k:=2; While x > eps/2 do begin x:=x*(2/k) ;k := k+1 end ; writeln(k) 2

a)On entre dans la boucleWhileavecxsoppusnO.2=es´astpesonu’eqj>1 fois dans cette boucle. Quelle est la valeur dexafoissuivante?`aenl’e´rtledeuobalelc n+1 2 b)Montrer que la suite (u n ) n>1 raepniefid´u n ecrostd´nteeissatenuatmdtielemi=e (n+ 1)! que l’on calculera. c)queluired´edEnelcuobaWhileci-dessus se termine. d)ni`ereliparladerarcffi´heeLvalauer´epenes1.t1erQumargseemdengorpu-ellte-te?

Partie IV SiXdrermentfactorield’oetsraainuveano,elleomelleppeal´eabl´eerirtok>,1’lse´preceande lavariableale´atoireX(X−1). . .(X−ksoit+ 1),   m k (X) =E X(X−1). . .(X−k+ 1) 1)Montrer que sik>n+ 1,alorsm k (X n ) = 0. 2)Soitk∈[0, n]]. Montrer que n−k X m k (X n ) =P(X n−k =j) = 1 j=0 3)SoitZrmteerinevuneabliaarriotae´ltnaviuseoideunelsondPoismae`peraD.e´rt1em k (Z), pour toutk∈[0, n]]. 4)Ond´efinitdespoylˆnmose(P k ) 06k6n par  P 0 (X) = 1 P k (X) =X(X−1). . .(X−k+ 1)sik>1 a)Montrer que la famille (P k ) 06k6n forme une base deR n [Xrielectoolyndesp]soˆemvecapse, `acoefficientsre´elsdedegre´inf´erieurou´egala`n. b)´ddeiuerquenEX n etZdro’dstnemomsemeontlesmˆrek, pour toutktel que 06k6n. 5)Montrer que pour toutk∈[0, n]], il existe (a 0,k , a 1,k , . . . , a k,k )rel´eelstuesq k X P j (X) k X=a j,k j! j=0 6)mriae´osucelcslaOnsitedouhaeer´esrl(lsa 0,k , a 1,k , . . . , a k,k ). P j (i) a)tout,pournireDe´etmrj∈[0, n]] eti∈N. j! i   X i k b)Montrer que pouri∈[0, k]],i=a j,k . j j=0 ´ c)Ecrire la matriceAontiuaes.q’´edemt`syseced d)lorieseEnntcaa¸plse’lsnadtcevecapR k [Xspol]deemrsnyoˆdsdee´ler´egnfeiri´eroeuge´ula T a`kel’expressiondele’dnmorohpsiemerrape´tnese´rpe´,rircA(ectairameled´eosspantrA) dans la base canonique. T e)Montrer queAvnrees.nireosinsevnit´etdrmtesiereebl −1 f )iicreeqmuaetlraEnd´eduA.e´DislbimenterernverestiA, puis l’expression dea j,k , pour toutj∈[0, k]]. g)Donner l’expression des moments d’ordrek, (16k6n)ilreed,aeotae´lailbvaraX n . 3