Mathématiques II 2005 Classe Prepa HEC (ECS) ENSAE

Description

Examen du Supérieur ENSAE. Sujet de Mathématiques II 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2005 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2005
• ENSAE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 48
• Langue: Français

Extrait

¾¼¼ Å Ø ÅÈ ¾
ÇÄ Æ ÌÁÇÆ Ä Ë ÈÇÆÌË Ì À ÍËË Ëº ÇÄ Ë Æ ÌÁÇÆ Ä Ë ËÍÈ ÊÁ ÍÊ Ë Ä³ ÊÇÆ ÍÌÁÉÍ Ì Ä³ ËÈ ¸ Ì ÀÆÁÉÍ Ë Î Æ Ë¸ Ë Ì Ä ÇÅÅÍÆÁ ÌÁÇÆ˸ Ë ÅÁÆ Ë È ÊÁ˸ Ë ÅÁÆ Ë Ë ÁÆ̹ ÌÁ ÆÆ ¸ Ë ÅÁÆ Ë Æ Æ ¸ Ë Ì Ä ÇÅÅÍÆÁ ÌÁÇÆË Ê Ì Æ º ÇÄ ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ ´ Ð Ö ÌËÁµº ÇÆ ÇÍÊË ³ ÅÁËËÁÇÆ ¾¼¼

ijÙ×

ÈÊ ÍÎ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ë Í Á Å ÈÊ ÍÎ Ð Ö ÅÈ ÙÖ Ð³ ÔÖ ÙÚ ÙÖ × ³ÓÖ Ò Ø ÙÖ ÓÙ Ð ÙÐ ØØ ×Ø ÒØ Ö Øº

ËÙ Ø Ñ × Ð ×ÔÓ× Ø ÓÒ × ÓÒ ÓÙÖ× Ý Ð ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð¸ ÆËÌÁŸ ÆË ´ËØ Ø ×Ø ÕÙ µ¸ ÁÆ̸ ÌÈ ¹ ÁÎȺ Ä× Ò Ø× ×ÓÒØ ÔÖ × Ñ ÒØ ÓÒÒ Ö ÓÒ ÔÔ Ö ÒØ ×ÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ô Ð ÓÔ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ë ¾ ¹ Ð Ö ÅȺ Ø ÒÓÒ ÓÑÔÓÖØ Ô × Ø ÜØ º

Ë ¸ Ù ÓÙÖ× Ð³ ÔÖ ÙÚ ¸ ÙÒ Ò Ø Ö Ô Ö ÕÙ ÐÙ × Ñ Ð ØÖ ÙÒ ÖÖ ÙÖ ³ ÒÓÒ ¸ Ð Ð × Ò Ð ×ÙÖ × ÓÔ Ø ÔÓÙÖ×Ù Ø × ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ Ò ÜÔÐ ÕÙ ÒØ Ð × Ö ×ÓÒ× × Ò Ø Ø Ú × ÕÙ³ Ð ×Ø Ñ Ò ÔÖ Ò Ö º

½

ËÓ ÒØ A Ø B ÙÜ Ñ ØÖ × ×ÝÑ ØÖ ÕÙ × Mn (IR) ÓÒØ Ð × Ú Ð ÙÖ× ÔÖÓÔÖ × ×ÓÒØ ÒÓØ × Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ (ak , 1 ≤ k ≤ n) Ø (bk , 1 ≤ k ≤ n)¸ Ö Ô Ø × ×Ù Ú ÒØ Ð ÙÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø º ÇÒ Ú ÙØ ÑÓÒØÖ Ö Ð³ Ò Ð Ø
n

det(A + B) ≤ max

σ∈Sn

(ak + bσ(k) ),
k=1

´½µ
{1, · · · , n}º

Ó

Sn

× Ò Ð ÖÓÙÔ

× Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ×

г Ò× Ñ Ð

ÆÓØ Ø ÓÒ×
ÇÒ ÒÓØ Ô Ö . Ð ÒÓÖÑ Ù Ð ÒÒ ÒÓÒ ÕÙ ×ÙÖ Rn Ø ÓÒ ÑÙÒ Ø Mn (IR) Ð ÒÓÖÑ Ñ ØÖ ÐÐ ×Ù ÓÖ ÓÒÒ ÕÙ ¸ ÔÓÙÖ ÐÐ Ö Ð × ÒÓØ Ø ÓÒ׸ ÖÖ M ¸ ÓÒ ÒÓØ M t × Ñ ØÖ ÓÒ ÒÓØ Ö Ù×× . º ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ñ ØÖ ØÖ Ò×ÔÓ× ¸ det(M ) ×ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø tr(M ) × ØÖ º Ä Ñ ØÖ ÒØ Ø Mn (IR) ×Ø ÒÓØ Iº ÍÒ Ñ ØÖ M ∈ Mn (IR) ×Ø Ø ×ÝÑ ØÖ ÕÙ ´Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÒØ ¹ ×ÝÑ ØÖ ÕÙ µ ÐÓÖ×ÕÙ M = M t ´Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ M t = −M µº ÇÒ ÒÓØ Sn ´Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ An µ Ð ×ÓÙ×¹ ×Ô Ú ØÓÖ Ð × Ñ ØÖ × ×ÝÑ ØÖ ÕÙ × ´Ö ×¹ Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÒØ ¹×ÝÑ ØÖ ÕÙ ×µº

Ê ×ÙÐØ Ø× Ñ ×
ÇÒ Ñ Ø Ð × ÔÖÓÔÖ Ø × ×Ù Ú ÒØ × È½ Ë A Ø B ×ÓÒØ ÙÜ Ñ ØÖ × ÓÒ Ð × Ð × Ø × ÐÐ × ÓÑÑÙØ Òظ Ð Ü ×Ø ÙÒ × ÓÒ Ð × Ø ÓÒ ÓÑÑÙÒ A Ø B º Ⱦ Ë A Ø B ÓÑÑÙØ ÒØ ÐÓÖ× exp(A + B) = exp(A) exp(B).

Áº ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ×
½µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ
Mn (IR) = Sn ⊕ An .

¾µ ÇÒ ÒÓØ

ÈÓÙÖ M ∈ Mn (IR)¸ ÜÔÐ Ø Ö tr(M E(i,j)) Ò ÓÒ Ø ÓÒ × Ó Mº ¾

Mn (IR)º

(E(i,j) , (i,j) ∈ {1, · · · , n} × {1, · · · , n})

Ð

×

ÒÓÒ ÕÙ ÒØ×

¿µ ËÓ Ø M ∈ Mn (IR) Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ñ ØÖ T ∈ An ¸ tr(M T ) = 0º Ä Ñ ØÖ M ×ع ÐÐ ×ÝÑ ØÖ ÕÙ ÓÙ ÒØ ¹×ÝÑ ØÖ ÕÙ µ ËÓ Ø T
∈ An ¸

ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ

eT

×Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð º
0¸

µ ËÓ Ø M ∈ Mn (IR). ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ¸ ÔÓÙÖ s Ù ÚÓ × Ò
esM = I +sM + O(s2 ).

´¾µ
αj (M )

µ ËÓ Ø M ∈ Mn (IR)º ÈÓÙÖ j ∈ {0, · · · , n}¸ ÓÒ ÒÓØ X j Ò× Ð ÔÓÐÝÒ Ñ Ö Ø Ö ×Ø ÕÙ M
n

Ð Ó

ÒØ

det(M − X I) =
j=0

αj (M )X j .

ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ j ÓÒØ ÒÙ º

∈ {0, . . . , n}¸

г ÔÔÐ Ø ÓÒ

(M → αj (M )) 0¸

×Ø

µ ËÓ Ø M ∈ Mn (IR). ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ s Ù ÚÓ × Ò
det(I +sM ) = 1 + s tr(M ) + O(s2 ),

Ø ÕÙ

det(I +sM + O(s2 )) = 1 + s tr(M ) + O(s2 ).

´¿µ

µ ÇÒ ×ÙÔÔÓ× ÕÙ M ∈ Mn (IR) Ò³ ×Ø Ô × ÒÚ Ö× Ð º ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ñ ¹ ØÖ N0 Mn (C) Ø ÐÐ ÕÙ ¸ ÔÓÙÖ ØÓÙØ s > 0¸ ÓÒ Ø det(M + sN0 ) > 0. µ ÅÓÒØÖ Ö Õ٠гÓÒ Ô ÙØ Ó × Ö N0 ¸ Ó ÒØ× Ö Ð׸ ÓÒ Ð × Ð ´Ö ×¹ Ô Ø Ú Ñ ÒØ ×ÝÑ ØÖ ÕÙ µ × M ×Ø ÓÒ Ð × Ð ´Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ×ÝÑ ¹ ØÖ ÕÙ