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Mathématiques pour l'informatique 2004 Informatique Université Paris (Diderot) 7

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Examen du Supérieur Université Paris (Diderot) 7. Sujet de Mathématiques pour l'informatique 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques pour l'informatique 2004 sur Bankexam.fr.
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Universit´eParis7 DEUG MIAS et MASS
Examen du 23 janvier 2004 Dur´ee:3heures.Bare`me:5,4,6,5. LesquestionsIII,5etIV,6sonthorsbare`me.
I
Ann´ee2003/2004 MT231
3 Soitatioe´reS.learam`etrunpfl’endomorphisme deRdont la matrice, dans la base canonique (e1, e2, e3), est   11 2   M= 33 6. a1 2 1- Montrer que le rang defsepuat´sulreopprurdeeruq0eseutenavelegal`a2.End´eduif.
2- Trouver les valeurs deaRpour lesquellesfest diagonalisable.
3-Onsupposede´sormaisquea= 1. Soitv2=f(e3). a) Montrer quev2kerf. b) Montrer que kerfcontient un vecteurv1l`aonneroitrpponnov2. 3 c) Montrer que (v1, v2, e3) est une base deR. ´ d) Ecrire la matrice defdans la base (v1, v2, e3). II
R´esoudrelesyste`medie´rentielsuivant: 0 x= 2x+y+2z 0 y=2xy4z . 0 z=x+y+3z
III
Onconside`relasuite(an)n0:ucrrneec´earrlpaien´ed a1=a0= 1,(S) (n+ 1)an+1=an+an1,nN. 1- Montrer que|an| ≤1 pour toutnN.ire´rppo´te´ecuparrcelarren´no:noitarilbatecadiInPn suivante, pour toutn1: (Pn)|an| ≤1 et|an1| ≤1.
P n 2-Montrerquelase´rieenti`ereanxa un rayon de convergenceRsua1.ag`luoe´eiru´pre
X n 3- Soitf:]R, R[Rnotclfapaierndion´ef(x) =anx. En utilisant la relation (S), n=0 montrer quefeillertneatqu´el´eindioosenutseednoitul 0 (E)y(x)(x+ 1)y(x) = 0. 4- Calculer toutes les solutions de (E).nE´ddeiueruqefest, sur l’intervalle ]R, R[, l’unique solution de (E) telle quef(0) = 1. Exprimerfcomme une fonction usuelle. 5-De´terminerlavaleurexactedeRqrertnom´etdeeu X 1 an=,nN. l k! 2l! k0,l0,k+2l=n
6-R´esoudrele´quationdi´erentielle
2 0x /2 y(x)(x+ 1)y(x) =e .
IV
Notation : siAest un sous-ensemble deR, on noteR\A={xR:x6∈A}.
Onconside`relessuitesdefonctions(fn() etgnr:paesni)´de n1n0 1 fn(x) =xR\N, 2 (xn) 1 gn(x) =xR\Z, 2 (x+n) ∞ ∞ X X etlesse´riesdefonctionsfnetgn. n=1n=0 P P ∞ ∞ On noteraf(x) =fn(x) etg(x) =gn(xsecedsemmossel)svleurpos,ieers´srlaue n=1n=0 dexpour lesquelles elles convergent. P P ∞ ∞ 1-D´emontrerquelas´eriefnconverge simplement surR\Nquelas´ertieegn n=1n=0 converge simplement surR\Z.
2- Exprimer, pourxR\Z,f(x+ 1)en fonction def(x) etg(x+ 1)en fonction deg(x).
3-Onconsid`erelafonctionp:R\Z−→Rard´eniepp(x) =f(x) +g(x). Que peut-on dire de p(x+ 1)p(x) ? P 4-D´emontrerque,pourtoutε >´eri,las0efnconverge normalement sur ]− ∞,1ε] et n=1 P las´eriegnconverge normalement sur [ε,[. n=0
5-De´montrerquefest continue sur ]− ∞,1[ et quegest continue sur ]0,[.
6- Montrer quepest continue sur ]0,iueruqeEn[.edd´1pest continue surR\Z.