CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique PHYSIQUE PARTIE II
Durée : 2 heures
NB : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a été amené à prendre.____
Les calculatrices sontautorisées.
____ De très nombreuses parties sont indépendantes. Il est conseillé aux candidats de prendre connaissance rapidement de la totalité du texte du sujet. Les candidats doivent respecter les notations de lénoncé et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée. ____
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OPTIQUE : ASPECTS DE LA DIFFRACTION
Les partiesA,BetCsont totalement indépendantes. Partie A : étude de quelques figures de diffraction
Lespace est rapporté, en coordonnées cartésiennes, à un repère orthonormé direct(Ox,Oy,Oz)de bas(r,ry,rz) ee e e.Un écran plan et opaque (E), percé dune pupille (S) parfaitement transparente, est placé entre deux lentilles convergentes(L)et(L′), de centres optiques respectifsΩet , et de même axe optique Oz à ( perpendiculaireE). Une source ponctuelle (Σ), placée au foyer objet de(L), émet une radiation monochromatique, de longueur dondeλ. Lobservation de la lumière diffractée seffectue sur un écran (E) placé dans le plan focal image de(L′), perpendiculairement à laxeOz. Les points O etO′sont les points dintersection respectifs des écrans (E) et (E′) avec laxe. Les axesOxetOydéfinissent les coordonnéesxetydun pointMde (E) ; les axesO′x′etO′y′ etdéfinissent les coordonnéesy′dun point′de (E′).OxetO′x′dune part,OyetO′y′dautre part, sont parallèles (figure1). yy ' (1) (3) M5 (4)r( ) (2)uz ur(α,β,γ)(Σ)ΩOΩO (S) (E)(E′) (L)(L′) Figure1
La phase du rayon(4), diffracté enO la direction de vecteur unitaire suivantur, de composantes (α, β, γ), est choisie pour origine des phases. Celle du rayon(3), diffracté en(x,y, 0) toujours suivanturt dé , es par : finie uuuur ϕ (M)=2)(πλδ, avec = −δ ( )ur.OMLamplitude complexedψde londe diffractée, suivantru, par lélément de surfacedS=dx dyde la pupille (S), centré enM, sécrit : dψ =k[exp(−jϕ(M))dx dy 2= − kest une constante de proportionnalité etjest le nombre complexe pour lequelj1 .
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I. Généralités 1) très brièvement, une circonstance de la vie courante dans laquelle se manifeste un Décrire, phénomène de diffraction. 2)Recopier, approximativement, la figure1et représenter le trajet des rayons(1)et(2)entre(L)et(E), puis celui des rayons(3),(4)et(5)entre (L′) et (E′). 3)la principale caractéristique de londe lumineuse incidente, qui parvient surQuelle est louverture (S) ? 4)Comment se nomme la quantitéδ ( )? 5) en fonction des variables Exprimer,α,β,x,yet de la longueur dondeλ, la phaseϕ ( ). S
6)
Le pointO est centre de symétrie de la pupille ( ) choisie. SoitdS1, centré au point 1( −x,−y, 0), lélément de surface symétrique, par rapport àO, de lélémentdS, centré en (x,y, 0). 6.1. Proposer un exemple de pupille admettantOcomme centre de symétrie. 6.2.Comparer lamplitude complexedψ1de londe diffractée, dans la direction ur1( −α,−β,γ ), par lélémentdS1, à lamplitudedψ de londe diffractée, dans la directionur(α,β,γ ), par la surfacedS. 6.3. Donner, sans calcul, la relation entre les intégralesψ1−α,−β,γ )etψ (α,β,γ ).6.4. En déduire lélément de symétrie caractéristique du phénomène de diffraction provoqué par louverture (S).
7)Le rôle de la lentille (L′), de distance focale′ramener dans son plan focal image,, est de donc à distance finie, les phénomènes relevant de la diffraction à linfini. (L′) est utilisée dans le cadre de lapproximation de Gauss. 7.1. brièvement les conditions de lapproximation de Gauss. Rappeler 7.2.γest donc proche de la valeur 1. En déduire une relation entreα,′et′. 7.3.Même question pourβ,y′et′. II. Diffraction par une ouverture rectangulaire La pupille (S) est une ouverture rectangulaire, de centreO, de largeurl, parallèle à laxeOxet de longueurLparallèle à laxeOy.1)Montrer que lamplitude complexeψ(α, β, γ)de londe diffractée dans la direction de vecteur r, sécri la forme : ut sous sinAαsinB) ψ (α,β,γ=ψ)0A()α)(.Bβ(β))
Exprimer, en fonction des données de lénoncé, les grandeursψ0,A
αetB(β). Tournez la page S.V.P.
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2) LéclairementÉ(x′, y′)au point′x′, y′)de lécran dobservation (E′) est proportionnel au carré de lamplitude de londe diffractée vers′. Léclairement sur lécran sécrit donc sous la forme : É(x′, y=)′É0sinA′A′x′(x′)2.sinB′B′y′(y)′2( ) ( ) 2.1. Exprimer, en fonction des données de lénoncé, les grandeursA′(x′)etB′ (y′). 2.2. laide dun schéma, décrire la figure de diffraction dans le plan A′O′y′, et préciser, notamment, la position relative des franges sombres. 2.3. Lephénomène est-il conforme au résultat de la question§ A.I.6.4? 2.4. Déterminer, en fonction deλ,′,letL, les dimensions de la tache centrale. 3)Que devient la figure de diffraction, si la hauteurL de louverture (S) devient très grande nt la la rl? deva rgeuIII. Diffraction par une ouverture circulaire Sans démonstration, et à laide, simplement, des considérations de symétrie abordées au§ A.I.6., décrire lallure de la figure de diffraction donnée, sur lécran (E′), par une ouverture circulaire de centreO.
Partie B : rôle constructif de la diffraction dans les réseaux Un réseau plan par transmission, noté (R), comporteNfentes fines, parallèles, de longueur infinie et séparées par la distancea du réseau). Ce réseau parfait (pas négligeable, est éclairé dépaisseur , perpendiculairement aux fentes, par une onde plane monochromatique de longueur dondeλ, sous lincidencei. Londe lumineuse diffractée dans la direction caractérisée par langleθ, résulte de la superposition desNondes cohérentes émises par les fentes. Les anglesi etθ sontcomptés à partir de la normale au réseau, positivement dans le sens trigonométrique (figure2). Milieu dindice (R)(2) absolun= 1 θ(1) 2+(2)Hi2θa+ 1i1(1)Milieu dindice absolun= 1
Figure2
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I. Diffraction à linfini : formule du réseau Soitδla différence de marche entre deux rayons consécutifs. Sur la figure2, par exemple, le rayon (2)présente un retard de marcheH2I2à lincidence et une avance de marche1H1à lémergence, par rapport au rayon(1)(les angles1H2I2et2H1I1valentπ/2).
1)
2)
Exprimer, en fonction deH2I2 et1H1, la différence de marcheδ (comptée positivement) entre les rayons(1)et(2). En déduire, en fonction dea,ietθ, une autre expression deδ.
Pour quil y ait interférences constructives dans la direction définie par langleθ, les ondes diffractées à linfini par deux fentes consécutives doivent être nécessairement en phase : = π = πvecken ϕ2δλ2k relatif. Déterminer, en fonction de tier, aa,i,λetk, les directionskdes maxima principaux de lumière diffractée, dordrek(formule du réseau). 3) Décrire, brièvement, le principe de la construction dun réseau plan par transmission. II. SpectromètreLa déviationDk, dun des rayons émergents, est langle que fait sa direction de propagation avec celle de la lumière parallèle incidente définie pari. 1)Proposer le schéma dun dispositif qui, en pratique, permet dobserver et de repérer les directions de ces maxima principaux. 2)Exprimer, en fonction deθketi, la déviationDk. 3)Langle dincidenceipeut être modifié. Pour une certaine valeuri=im,k, la déviationDkdun rayon émergent, choisi dans lordrek, présente un extrémum (minimum)Dm,k non nul.
4)
5) 6)
Montrer que légalitédDdim,k= au minimum de déviation, la relation0 entraîne,im,k= ±θm,k. m,k
Exprimer la déviationDm,ken fonction deim,k.
En déduire la relation entreDm,k,k,λeta(formule du réseau au minimum de déviation).
Application numérique. Des mesures ont donné les résultats suivants :
Lampe spectrale
Mercure Hélium
Radiation Vert « fluo » Jaune
λ(nm) 546,1 ?
Ordrek2 2
Dm,k(degrés) 35,32 38,11
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Calculer : 6.1. nombre leN* de traits par mm présenté par le réseau ; 6.2. la longueur dondeλde la raie jaune de lhélium.Partie C : effet limitant de la diffraction dans un instrument doptique Un microscope simplifié est constitué par deux lentilles minces convergentes de même axe optique. On suppose que chacune de ces lentilles est utilisée dans des conditions de stigmatisme et daplanétisme approchés. Lobjectif(L1), de centre optiqueO1, présente une distance focale image1′. Loculaire(L2), de centre optiqueO2, possède une distance focale2′. Le foyer imageF1′de(L1)et le foyer objetF2de(L2)sont distants de∆ =F1′F2(intervalle optique), grandeur maintenue constante et positive. Un petit objetAB à étudier est placé en avant du foyer objetF1 de lobjectif, orthogonalement à laxe optique, le pointAcondenseur de lumière permet déclairer lobjetappartenant à cet axe. Un observé. Lil dun observateur est placé derrière loculaire (figure3). Le microscope permet donc dobserver, à la loupe(L2), limage agrandieA1B1de lobjetABdonnée par lobjectif(L1), soit :
ABObjectifL1→ A BOculaireL2→A′B′
1 1 + 21O11 F2 O2zil (L1)(L2) Figure3 Le microscope est réglé pour quun il, supposé normal, nait pas à accommoder lorsquil observe, à travers lappareil, limage finaleA′B′de lobjetAB. Les conventions dorientation, dans les mesures algébriques des angles (comptés à partir de laxe optique) et des bipoints, sont précisées sur la figure3. I. Tracé de rayons1)Donner la position de limage intermédiaireA1B1.
2)
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Faire un schéma et tracer la marche dun pinceau lumineux étroit issu deB, point de lobjet nappartenant pas à laxe.
3)Exprimer, en fonction de1′et∆, le grandissement linéaireγ1=A1B1ABde lobjectif. II. Limite de résolution angulaire de lil Soitα′, langle sous lequel lil voit, depuisF2′, limage définitiveA′B′. 1)Écrire, en fonction de1′,2′et∆, lexpression de la puissancePdu microscope, définie par le rapportP= α′AB.2)La puissancePdépend-t-elle de la position de lil, en arrière de loculaire ? 3)Du fait de la structure granulaire de la rétine, lil ne peut distinguer les deux imagesAetB, que si langleα′il les voit, est tel que, sous lequel α′ ≥ ε(limite de résolution angulaire de lil). Déterminer, en fonction de1,2′,∆etε, la tailleABmin,oeildu plus petit objet dont les extrémités pourraient être observées distinctement à travers le microscope. 4)Application numérique1′= 0,50 cm;2= 2,5 cm;∆= 16 cm;ε= 4,5 10-4rad. Calculer la limite de résolutionABmin,oeilimposée par la structure de la rétine.III. Limite de résolution de lappareilLe faisceau lumineux (longueur dondeλmicroscope, est limité par la monture), qui pénètre dans le de lobjectif. Le diaphragme douverture, pupille circulaire de faible rayonR1, est responsable dun phénomène de diffraction. Les imagesA1 etB1 des points objetsA etB sont, en fait, des taches circulaires, dites « taches dAiry », de rayonρ, centrées respectivement enA1etB1et situées dans un plan perpendiculaire à laxe optiqueO1z. 0, 61λO A 1 Le rayonρest donné par la relationρ =n1R11. On admet, par convention (critère de Rayleigh), que les deux imagesA1 etB1 ne peuvent être distinguées que si les deux taches ne se chevauchent pas trop : à la limite, le centre de la figure dAiry relative à lun des points correspond à la bordure de la tache dAiry de lautre point. La condition daplanétisme (relation des sinus dAbbe) est rappelée :n ABsinu=n1A1B1sinu1 . nest lindice absolu du milieu dans lequel se trouve lobjetAB,n1=1 est lindice absolu du milieu où se formeA1B1. Langleuest le demi-angle du cône de lumière qui pénètre dans lappareil (angle douverture). Langleu1est faible, ce qui permet décriresinu1≈tanu1≈u1(rad) (figure4).
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1)
2)
3)
4)
Milieu dindicen
Soit
u
(L1)
O1
Milieu dindicen1= 1
1
u1
Monture de lobjectif (L1)
8
Figure4
+
y
1
1
Projection des taches dAiry, de rayonρ, zdans le planyA1
A1Bm1ni,la plus petite distance entre deux points-images distincts. Donner la relation entreA1Bin1met le rayonρde la tache dAiry.
A B corre Montrer que la limite de résolution du microscopemin,µspondante, sécrit sous la forme stante positive. Donner la valeur deq. :A Bmin,µ=qnsiλnu, avecqcon
Quel(s) moyen(s) peut-on employer pour diminuer la valeur
appareil qui permet létude de détails plus fins ?
A B et ser ainsi d dun min,µispo
Application numériqueλ= 0,55 µm;nsinu=0, 80 . 4.1.Calculer la limite de résolutionA B. min,µ 4.2.ComparerA Bmin,µetA Bmin,oeil(§ C.II.4.). Conclure.