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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D’ADMISSION 2004
MP FILIÈRE
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   
3 Courbures des surfaces dans l’espaceR
3 Ce problème propose une étude des surfaces de l’espaceRet de leurs courbures totale et n moyenne. Pour tout entiern >0, l’espaceRsera muni de son produit scalaire et de sa norme usuels notés respectivement(.|.)et.. La première partie est consacrée à des préliminaires algébriques.
Première partie
(i) (1) (n)n+1 (i) éléments deR,(x) 1.Soientx ,. . ., xdesj j=1,... ,n+1les composantes dexdans n+1k+1 la base canonique deR. Pour toutk= 1, n, . . .+ 1on noteVkle produit par(1)du (i) déterminant de la matrice(x)i= 1, . . ., netj= 1, . . ., k1, k+ 1, . . ., n+ 1. On noteV j n+1 le vecteur deRde composantesVk.
(i) 1.a)Montrer queVest orthogonal à tous lesx.
1.b)Comparer les conditions suivantes : i)V= 0 (i) ii)la famille(x)i=1,... ,nest liée.
(1) (n) 1.c)Exprimer en fonction deVle déterminant desn+ 1vecteurs, xV, x, . . .dans la n+1 base canonique deR.
(1) (n) 2.a)Montrer que, pour toutn-uple de vecteurs(, x. . .x ,)linéairement indépendants, (1) (n) il existe un unique vecteurW(. . ., , xx ,)ayant les propriétés suivantes
(1) (n) (i) i)W(x ,. . ., x)est de norme 1 et orthogonal à tous lesx
(1) (n() (1)n) ii)le déterminant desn+1vecteursW(. . .x ,, x), x, x, . . .dans la base canonique n+1 deRest strictement positif.
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