Polytechnique X 2004 deuxieme composition de mathematiques classe prepa mp

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ÉCOLEPOLYTECHNIQUE FILIÈREMPCONCOURSD’ADMISSION2004DEUXIÈMECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée:4heures)L’utilisationdescalculatricesn’estpasautoriséepourcetteépreuve.3Courburesdessurfacesdansl’espaceR3Ceproblèmeproposeuneétudedessurfacesdel’espaceR etdeleurscourburestotaleetnmoyenne.Pourtoutentier n>0,l’espaceR seramunidesonproduitscalaireetdesanormeusuelsnotésrespectivement (.|.)et ..Lapremièrepartieestconsacréeàdespréliminairesalgébriques.Premièrepartie(i)(1) (n) n+1 (i)1.Soient x ,...,x desélémentsdeR ,(x ) lescomposantesde x dansj=1,...,n+1jn+1 k+1labasecanoniquedeR .Pourtout k =1,...,n+1onnote V leproduitpar (−1) duk(i)déterminantdelamatrice (x )où i=1,...,net j =1,...,k− 1,k+1,...,n+1.OnnoteVjn+1levecteurdeR decomposantes V.k(i)1.a)Montrerque V estorthogonalàtousles x .1.b)Comparerlesconditionssuivantes:i) V =0(i)ii)lafamille (x ) estliée.i=1,...,n(1) (n)1.c)Exprimerenfonctionde Vledéterminantdes n+1vecteurs V,x ,...,x danslan+1basecanoniquedeR .(1) (n)2.a)Montrerque,pourtoutn-upledevecteurs (x ,...,x )linéairementindépendants,(1) (n)ilexisteununiquevecteur W(x ,...,,x )ayantlespropriétéssuivantes(1) (n) (i)i) W(x ,...,x )estdenorme1etorthogonalàtousles x(1) (n) (1) (n)ii)ledéterminantdes n+1vecteurs W(x ,...,x ),x ,...,x danslabasecanoniquen+1deR eststrictementpositif.1n+12.b)Vérifierque,pourtouterotation RdeR ,onaÄ ä Ä ä(1) (n) (1) (n)W R(x ),...,R(x ) = R W(x ,...,x ) .n3)Soit (e ,...,e )unebasedeR , Qlamatricedecoefficients q ...

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• Publié par: shura
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