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Polytechnique X 2004 deuxieme composition de mathematiques classe prepa mp

4 pages
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE FILIÈREMPCONCOURSD’ADMISSION2004DEUXIÈMECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée:4heures)L’utilisationdescalculatricesn’estpasautoriséepourcetteépreuve.3Courburesdessurfacesdansl’espaceR3Ceproblèmeproposeuneétudedessurfacesdel’espaceR etdeleurscourburestotaleetnmoyenne.Pourtoutentier n>0,l’espaceR seramunidesonproduitscalaireetdesanormeusuelsnotésrespectivement (.|.)et ..Lapremièrepartieestconsacréeàdespréliminairesalgébriques.Premièrepartie(i)(1) (n) n+1 (i)1.Soient x ,...,x desélémentsdeR ,(x ) lescomposantesde x dansj=1,...,n+1jn+1 k+1labasecanoniquedeR .Pourtout k =1,...,n+1onnote V leproduitpar (−1) duk(i)déterminantdelamatrice (x )où i=1,...,net j =1,...,k− 1,k+1,...,n+1.OnnoteVjn+1levecteurdeR decomposantes V.k(i)1.a)Montrerque V estorthogonalàtousles x .1.b)Comparerlesconditionssuivantes:i) V =0(i)ii)lafamille (x ) estliée.i=1,...,n(1) (n)1.c)Exprimerenfonctionde Vledéterminantdes n+1vecteurs V,x ,...,x danslan+1basecanoniquedeR .(1) (n)2.a)Montrerque,pourtoutn-upledevecteurs (x ,...,x )linéairementindépendants,(1) (n)ilexisteununiquevecteur W(x ,...,,x )ayantlespropriétéssuivantes(1) (n) (i)i) W(x ,...,x )estdenorme1etorthogonalàtousles x(1) (n) (1) (n)ii)ledéterminantdes n+1vecteurs W(x ,...,x ),x ,...,x danslabasecanoniquen+1deR eststrictementpositif.1n+12.b)Vérifierque,pourtouterotation RdeR ,onaÄ ä Ä ä(1) (n) (1) (n)W R(x ),...,R(x ) = R W(x ,...,x ) .n3)Soit (e ,...,e )unebasedeR , Qlamatricedecoefficients q ...
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D’ADMISSION 2004
MP FILIÈRE
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   
3 Courbures des surfaces dans l’espaceR
3 Ce problème propose une étude des surfaces de l’espaceRet de leurs courbures totale et n moyenne. Pour tout entiern >0, l’espaceRsera muni de son produit scalaire et de sa norme usuels notés respectivement(.|.)et.. La première partie est consacrée à des préliminaires algébriques.
Première partie
(i) (1) (n)n+1 (i) éléments deR,(x) 1.Soientx ,. . ., xdesj j=1,... ,n+1les composantes dexdans n+1k+1 la base canonique deR. Pour toutk= 1, n, . . .+ 1on noteVkle produit par(1)du (i) déterminant de la matrice(x)i= 1, . . ., netj= 1, . . ., k1, k+ 1, . . ., n+ 1. On noteV j n+1 le vecteur deRde composantesVk.
(i) 1.a)Montrer queVest orthogonal à tous lesx.
1.b)Comparer les conditions suivantes : i)V= 0 (i) ii)la famille(x)i=1,... ,nest liée.
(1) (n) 1.c)Exprimer en fonction deVle déterminant desn+ 1vecteurs, xV, x, . . .dans la n+1 base canonique deR.
(1) (n) 2.a)Montrer que, pour toutn-uple de vecteurs(, x. . .x ,)linéairement indépendants, (1) (n) il existe un unique vecteurW(. . ., , xx ,)ayant les propriétés suivantes
(1) (n) (i) i)W(x ,. . ., x)est de norme 1 et orthogonal à tous lesx
(1) (n() (1)n) ii)le déterminant desn+1vecteursW(. . .x ,, x), x, x, . . .dans la base canonique n+1 deRest strictement positif.
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