Première composition de Mathématiques 2002 Classe Prepa MP Ecole Polytechnique

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Examen du Supérieur Ecole Polytechnique. Sujet de Première composition de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Première composition de Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 28 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D’ADMISSION 2002

MP FILIÈRE

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.    On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.    La première partie est indépendante des trois autres.   

Première partie

∞  1.On considère une suite(w n ) n∈N de réels strictement positifs vérifiantw n = 1et une n=0 ∞  2 uew <+∞. suite(a n ) n∈N de réels telle q n a n n=0

∞  2 Vérifier que la fonctionx→D a (x) =w n (a n −x)est bien définie surRet atteint son n=0 minimum. On déterminera ce minimum ainsi que l’ensemble des points où il est atteint.

2.On considère une fonction continue réelle de carré intégrablefsur l’intervalle]0,1[. Vérifier  Ä ä 1 2 que la fonctionx→D f (x) =f(t)−xdtest bien définie surRet atteint son minimum. 0 On déterminera ce minimum ainsi que l’ensemble des points où il est atteint.

Deuxième partie

Dans cette partie, on se donne une fonction réellefsur l’intervalleI=]0,1[, continue par morceaux et intégrable.  1 3.Vérifier que la fonctionx→Δ(x) =|f(t)−x|dtest bien définie surR. 0

4.a)Montrer que la fonctionΔest continue et convexe.

1

b)Déterminer les limites deΔ(x)lorsquextend vers+∞ou−∞.

5.Montrer queΔadmet un minimum, que l’on noteraV, et que l’ensembleMdes points oùΔatteint ce minimum est un intervalle.

6.Exemples. DéterminerΔ, VetMdans les deux cas suivants :  1sit1/2 a)f(t) =. 0sit >1/2 b)f(t) =t.

Troisième partie

On se donne à nouveau une fonctionfayant les propriétés indiquées dans ladeuxième partie; on suppose en outre quefest monotone par morceaux, c’est-à-dire qu’il existe des nombres t 0 = 0< t 1 < .. .< t n = 1 tels quefsoit monotone sur chaque intervalle]t i , t i+1 [. Pour tout intervalleJdeR, éventuelle- ment réduit à un point, on définit une fonctionχsurIpar J  1sif(t)∈J χ(t) =. J 0sinon

7.Vérifier que la fonctionχest continue par morceaux et intégrable surI. On noteλ(J) J son intégrale.

8.Établir les propriétés suivantes de l’applicationλ:

a)Étant donnés des intervallesJ 1 , J, . . . n deux à deux disjoints dont la réunion est encore un intervalle, on a λ(J 1 ∪. . .∪J n ) =λ(J 1 ) +. . .+λ(J n ) ; b)Étant donnée une suite croissante d’intervalles(J n ) n∈N , on a Ä ä λ∪J n = supλ(J n ). n∈N n∈N

c)Étant donnée une suite décroissante d’intervalles(J n ) n∈N , on a Ä ä λ∩J n = infλ(J n ). n∈Nn∈N 9.Soitxun réel etεun réel>0; on pose

J 1 =]− ∞, x], J 2 =]x, x+ε[, J 3 = [x+ε,+∞[.

2

a)Démontrer l’égalité suivante :  Ä äÄ ä 1 1 2 Δ(x+ε)−Δ(x)−λ(J 1 ) +λ(J 3 ) =λ(J 2 ) +χ(t)x−f(t) dt , J 2 ε ε 0 oùΔest la fonction définie à la question3.

b)Montrer queΔadmet en tout pointxune dérivée à droite que l’on déterminera.

c)Même question pour la dérivée à gauche.

d)Comparer ces deux dérivées et dire pour quelles valeurs dexelles sont égales.

10.On pose φ(x) =λ(]− ∞, x]) Å ãÅ ã 1 1 φ(x+ 0) =limφ x+φ(x−0) =limφ x− n→+∞n→+∞ n n a)Exprimerφ(x+ 0)etφ(x−0)en fonction deφ(x)et deλ({x}).

(1) (2)

b)Montrer que l’ensembleNdes réelsxvérifiantφ(x−0)1/2φ(x), s’il n’est pas vide, est un intervalle fermé borné.

c)Comparer les ensemblesM(défini à la question5.) etNet préciser le comportement deφsur l’intérieur deNlorsqueNn’est pas réduit à un point.

Quatrième partie

11.On se donne une fonctionfsurI, réelle, continue, intégrable et monotone par morceaux; on noteM f etV f ce qui était notéMetV.

a)Démontrer l’inclusionM f ⊂f(I).

b)Montrer queM f est réduit à un point, que l’on noteram f .   1 1 c)ComparerV f et|f(t)|dt, puism f et2|f(t)|dt. 0 0

12.On considère une suite(g n )de fonctions surI, réelles, continues, intégrables et monotones par morceaux; on suppose que cette suite converge en moyenne vers une fonctiongcontinue par morceaux, intégrable et monotone par morceaux. On posem n =m g n . Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite(m n )est non vide et inclus dans l’ensembleM g des points  1 où la fonctionx→ |g(t)−x|dtatteint son minimum. 0

∗ ∗ ∗ 3