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Première composition de Mathématiques 2004 CAPES de mathématiques CAPES (Externe)

6 pages
Concours de la Fonction Publique CAPES (Externe). Sujet de Première composition de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Première composition de Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.
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Objectifs et notations
Ce probl` eme propose essentiellement l’´ etude de deux d´ efinitions classiques de la fonction
exponentielle. La premi` ere partie ´ etablit des r´ esultats fondamentaux qui seront utilis´ es
dans les deux parties suivantes, mais ` a l’exception de la toute derni` ere question, la
deuxi` eme et la troisi` eme partie sont totalement ind´ ependantes.
Les candidats sont invit´ es ` a lire soigneusement les en-tˆ etes de chaque partie et ` a se
conformer strictement aux exigences qui y sont formul´ ees. Toute solution ne respectant
pas ces exigences sera rejet´ ee.
Certaines questions comportent des indications ou des suggestions de solutions. Les
candidatspeuventbiensˆ urnepasentenircompteetproposerdessolutionspersonnelles.
d´ esigne l’ensemble des nombres entiers naturels, ∗
= r{0} et
b
= r{0,1}.
d´ esigne l’ensemble des nombres r´ eels, et ∗+
l’ensemble des nombres r´ eels strictement
positifs.
E d´ esigne l’application usuelle partie enti` ere.
n d´ esignant un entier naturel non nul, on appelle n-uplet de r´ eels un´ el´ ement du produit
cart´ esien n
.
L’´ ecriture (u
n
)
n>1 d´ esigne une suite index´ ee par ∗
, de terme g´ en´ eral u
n
et si a d´ esigne
un r´ eel positif, (u
n
)
n>a d´ esigne une suite index´ ee ` a partir du premier entier strictement
sup´ erieur ` a a et de terme g´ en´ eral u
n
. Dans certaines questions, l’indexation de la suite
ne sera pas pr´ ecis´ ee et la notation (u
n
) utilis´ ee.
Partie A : Quelques r´ esultats fondamentaux
Le but de cette partie est essentiellement la d´ emonstration d’in´ egalit´ es qui seront utilis´ ees
dans les parties suivantes, au service de constructions de l’exponentielle. On s’ interdit
donc tout emploi de propri´ et´ es de la fonction exponentielle exp, de la fonction logarithme
ln et des fonctions puissances dans le cas d’un exposant non rationnel.
Par contre, les propri´ et´ es des fonctions puissances ` a exposant rationnel sont suppos´ ees
connues.
A. I. L’in´ egalit´ e de Bernoulli
Il s’agit de l’in´ egalit´ e suivante :
pourtoutr´ eelastrictementsup´ erieur` a−1ettoutentiernaturelnappartenant
` a
b
, (1+a)
n
>1+na avec ´ egalit´ e si et seulement si a=0
D´ emontrer cette in´ egalit´ e de deux mani` eres diff´ erentes, par des m´ ethodes´ el´ ementaires. On´ etudiera
le cas d’´ egalit´ e.
Suggestion : Une m´ ethode possible est de poser x=1+a et d’utiliser une factorisation.
A. II. L’in´ egalit´ e de Cauchy
Il s’agit de l’in´ egalit´ e suivante :
pour tout entier naturel non nul n, pour tout n-uplet de r´ eels strictement positifs
(x
1
,··· ,x
n
),
1
n
n
X
k=1
x
k>
ˆ
n
Y
k=1
x
k
!
1
n
avec ´ egalit´ e si et seulement si x
1 =···=x
n
encore appel´ ee in´ egalit´ e de la moyenne arithm´ etique et de la moyenne g´ eom´ etrique.
1. D´ emontrer l’in´ egalit´ e dans le cas particulier n=2. On ´ etudiera le cas d’´ egalit´ e.
12. La premi` ere d´ emonstration propos´ ee du cas g´ en´ eral est due ` a Cauchy lui-mˆ eme.
2.1. Soit une partie de ∗
poss´ edant les trois propri´ et´ es suivantes :
8
>
<
>
:
i) 1∈ ii) ∀n∈ ∗
,n∈ ⇒2n∈ iii)∀n∈ ∗
,n+1∈ ⇒n∈ D´ emontrer que = ∗
Indication : on pourra commencer par d´ emontrer que, pour tout n∈ , 2
n
∈ .
2.2. En d´ eduire l’in´ egalit´ e de Cauchy et son cas d’´ egalit´ e.
Indication : pour le passage de n ` a 2n, on pourra utiliser le cas n=2 et pour le passage
de n+1 ` a n, on pourra g´ en´ eraliser l’´ egalit´ e :
a+b+
a+b
2
3
=
a+b
2
.
3. Deuxi` eme d´ emonstration : soit n un entier naturel non nul, et (x
1
,··· ,x
n
) un n-uplet de r´ eels
strictement positifs suppos´ es pas tous ´ egaux. On d´ efinit une application φ de [0,1] vers en
posant φ(t)=
n
Y
k=1
"
x
k +
t
n
n
X
h=1
(x
h−x
k
)
#
.
3.1. Justifier que, pour tout t∈[0,1], φ(t)>0.
3.2. D´ emontrer que φ est strictement croissante sur [0,1].
Indication : Utiliser

φ
0
φ

0
.
3.3. En d´ eduire l’in´ egalit´ e de Cauchy et son cas d’´ egalit´ e.
4. La troisi` eme d´ emonstration est plus ´ elabor´ ee (on signale aux candidats que sa recherche n’a
aucune incidence sur la suite du probl` eme). Elle repose sur les trois id´ ees suivantes :
4.1. Si les x
k
ne sont pas tous ´ egaux, alors soient m= min
16k6n
x
k
et M = max
16k6n
x
k
. On a donc
m < M ; si dans le n-uplet (x
1
,··· ,x
n
) on remplace m et M par
m+M
2
, on obtient un
n-uplet diff´ erent dont la moyenne arithm´ etique est la mˆ eme, et la moyenne g´ eom´ etrique
est strictement plus grande.
4.2. L’in´ egalit´ e de Cauchy dans le cas g´ en´ eral se d´ eduit de l’in´ egalit´ e obtenue dans le cas
particulier o` u on suppose que les x
k
v´ erifient de plus l’´ egalit´ e :
n
X
k=1
x
k =1.
4.3. L’application ψ : (x
1
,··· ,x
n−1
) 7→
ˆ
1−
n−1
X
k=1
x
k
!
n−1
Y
k=1
x
k
poss` ede un maximum sur
l’ensemble Ω des (n−1)-uplets v´ erifiant x
1 >0,··· ,x
n−1 >0,
n−1
X
k=1
x
k <1 atteint unique-
ment en
¡
1
n
,··· ,
1
n
¢
.
D´ emontrer ces trois propri´ et´ es, sans faire appel au calcul diff´ erentiel ` a plusieurs variables.
Indication : pour la propri´ et´ e 3), on pourra commencer par d´ emontrer que le maximum de
ψ existe sur l’adh´ erence de Ω.
5. En d´ eduire l’in´ egalit´ e de Cauchy et son cas d’´ egalit´ e.
2A. III. Un calcul d’int´ egrale
Soient a et b deux nombres r´ eels tels que a<b. Soit f une application de [a,b] vers , continue par
morceaux sur [a,b]. Soit F une application de [a,b] vers . On suppose que f et F satisfont ` a la
condition suivante :
pour tout (x,y)∈[a,b]
2
, F(y)−F(x)>(y−x)f(x)
1. D´ emontrer que f est croissante sur [a,b].
2. D´ emontrer que F est convexe sur [a,b].
3. Soit n∈ ∗
. D´ emontrer que, si a=a
0 <a
1 <···<a
n =b est une subdivision de [a,b], alors :
n−1
X
k=0
(a
k+1−a
k
)f(a
k
)6F(b)−F(a)6
n−1
X
k=0
(a
k+1−a
k
)f(a
k+1
)
4. En d´ eduire que
Z
b
a
f(x)dx=F(b)−F(a).
A. IV. Continuit´ e des applications convexes
Soit f une application de vers , convexe sur .
1. D´ emontrer l’in´ egalit´ e dite des pentes : pour tous r´ eels a,b,c, si a<b<c alors :
f(b)−f(a)
b−a
6
f(c)−f(a)
c−a
6
f(c)−f(b)
c−b
2. En d´ eduire que f est continue sur .
Indication : on pourra ´ etudier les limites ` a droite et ` a gauche en x
0 arbitraire.
Partie B :
´
Etude de la fonction exponentielle
Comme application des in´ egalit´ es fondamentales de la partie A, on se propose de con-
struire ” ` a partir de rien ” la fonction exponentielle.
On s’interdit donc, dans cette partie, tout emploi de propri´ et´ es de la fonction exponen-
tielle exp, de la fonction logarithme ln, et par voie de cons´ equence des fonctions puis-
sances dans le cas d’un exposant non rationnel, ` a moins qu’elles n’aient pr´ ealablement
´ et´ e red´ emontr´ ees.
Cettepartiefaitunusageintensifdesin´ egalit´ esdelapartieA,enparticulierdel’in´ egalit´ e
de Bernoulli.
1. Soit x un nombre r´ eel fix´ e ; on note, pour tout entier n> 1, u
n
(x) =

1+
x
n
·
n
, et pour tout
entier n>|x|, v
n
(x)=

1−
x
n
·
−n
.
1.1. D´ emontrer que la suite
¡
u
n
(x)
¢
n>|x|
est croissante.
Suggestion : Une m´ ethode est de partir de l’´ egalit´ e
1+
n
X
k=1

1+
x
n
·
=(n+1)

1+
x
n+1

31.2. En d´ eduire que la suite
¡
v
n
(x)
¢
n>|x|
est d´ ecroissante.
1.3. D´ emontrer que les suites
¡
u
n
(x)
¢
n>|x|
et
¡
v
n
(x)
¢
n>|x|
sont convergentes et ont la mˆ eme
limite.
Indication : D´ emontrer que vn
(x)−un
(x)6vn
(x)
x
2
n
.
2. On note e l’application de vers qui, ` a un r´ eel x, associe la limite commune des suites de
la question pr´ ec´ edente.
2.1. Soient a,b deux r´ eels, a strictement inf´ erieur ` a b.
D´ emontrer que la convergence de la suite d’applications (u
n
)
n>1
est uniforme sur [a,b].
Que peut-on en d´ eduire pour l’application e ?
2.2. D´ emontrer que, pour tout r´ eel x, 1+x6e(x) et, pour tout r´ eel x strictement inf´ erieur
` a 1,e(x)6
1
1−x
.
2.3.
2.3.1. D´ emontrer que, pour tout x∈ ,e(x) est non nul et exprimer son inverse ` a l’aide de
e.
2.3.2. Soit (ε
n
) une suite de nombres r´ eels convergente vers 0. D´ emontrer que la suite
‡‡
1+
ε
n
n
·
n
·
converge vers 1.
2.3.3. En d´ eduire que, pour tous x,y r´ eels, on a : e(x+y)e(−x)e(−y)=1.
2.4.
´
Enum´ ererlespropri´ et´ esusuelles delafonctionexponentielleetd´ emontrerquel’application
eposs` edebienchacunedecespropri´ et´ es. (Propri´ et´ esusuellesest` acomprendreicicomme
propri´ et´ es enseign´ ees dans les classes de lyc´ ee).
2.5. On pose e=e(1). D´ eterminer la valeur d´ ecimale approch´ ee par d´ efaut de e ` a 10
−1
pr` es.
On se gardera bien sˆ ur d’utiliser la touche d’exponentiation ˆ ou x
y
des calculatrices car
elle fait en g´ en´ eral appel aux fonctions ln et exp. Toutes les explications utiles sur les
moyens de calcul mis en oeuvre pour cette d´ etermination seront fournies.
2.6. Expliquer pourquoi les suites
¡¡
1+
1
n
¢
n
¢
et

¡
1−
1
n
¢
−n
·
sont mal adapt´ ees au calcul
num´ erique de valeurs approch´ ees de e.
3. On va voir que la d´ efinition pr´ ec´ edente de e peut ˆ etre ´ etendue aux nombres complexes.
3.1. Soit z un nombre complexe, et n un entier naturel non nul. D´ emontrer que

1+
z
n
·
n
=
+∞
X
k=0
a
k
(n)
z
k
k!
o` u on a pos´ e : a
k
(n)=
8
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
1 si k =0 ou 1
k−1
Y
h=1

1−
h
n

si 1<k6n
0 sinon
3.2. En d´ eduire que, pour tout complexe z, et tous entiers naturels non nuls n,m




1+
z
n
·
n


1+
z
m
·
m


fl6



1+
|z|
n

n

1+
|z|
m

m




Indication : on pourra commencer par observer qu’` a k fix´ e, la suite n 7→ a
k
(n) est
croissante.
3.3. En d´ eduire, pour tout nombre complexe z, la convergence de la suite de nombres com-
plexes
‡‡
1+
z
n
·
n
·
n>1
.
4Partie C : L’exponentielle -solution de y
0
=y,y(0)=1
Dans cette partie, on propose ` a nouveau une ´ etude ex nihilo de la fonction exponentielle
; on s’interdit donc encore tout usage de exp, de ln, et des fonctions puissances dans le
cas d’un exposant non rationnel. Est aussi exclu tout emploi de la th´ eorie des ´ equations
diff´ erentielles lin´ eaires, a fortiori tout th´ eor` eme d’existence et d’unicit´ e de type Cauchy-
Lipschitz ainsi que toute r´ ef´ erence aux r´ esultats de la partie pr´ ec´ edente.
Par contre, on utilise librement les r´ esultats de la premi` ere partie, en particulier ceux
des questions III et IV.
Soient k et a deux r´ eels, k non nul. Il s’agit de d´ emontrer que le probl` eme
PC
k,a
(
y
0
=ky
y(0)=a
poss` ede une unique -solution, et que cette unique solution s’exprime simplement en fonction de la
solution du probl` eme PC
1,1
.
On appelle -solution du probl` eme PC
k,a
toute application φ de vers , d´ erivable sur et telle
que, φ(0)=a et pour tout r´ eel x, φ
0
(x)=kφ(x).
1. Quelle relation existe-t-il entre les -solutions ´ eventuelles du probl` eme PC
k,a
et celles du
probl` eme PC
1,1
?
2. Soit a un r´ eel quelconque et φ une application de vers . D´ emontrer l’´ equivalence des deux
assertions suivantes :
i) φ est -solution du probl` eme PC
1,a
ii)
8
>
<
>
:
φ est continue sur pour tout r´ eel x, φ(x)=a+
Z
x
0
φ(t)dt
3. On d´ emontre dans cette question l’unicit´ e pour le probl` eme PC
1,1
.
3.1. Quel lien y-a-t-il entre l’unicit´ e pour le probl` eme PC
1,1
et celle pour le probl` eme PC
1,0
?
3.2. Soient φ une -solution du probl` eme PC
1,0
et T un r´ eel fix´ e. D´ emontrer qu’il existe un
r´ eel M tel que, pour tout n∈ , pour tout x entre 0 et T,|φ(x)|6M
|x|
n
n!
. Que peut-on
en d´ eduire pour φ ?
Indication : On pourra traiter s´ epar´ ement les cas T positif et T n´ egatif.
3.3. En d´ eduire l’unicit´ e pour le probl` eme PC
1,1
.
On va maintenant d´ emontrer l’existence d’une -solution pour le probl` eme PC
1,1
.
Dans toute la suite, h d´ esigne un r´ eel strictement positif.
4. On d´ efinit une application ψ
h
de vers par les deux conditions suivantes :
• pour tout n∈ , ψ
h
(nh)=(1+h)
n
;
• pour tout n∈ , la restriction de ψ
h
` a [nh;(n+1)h] est affine.
4.1. Construire dans le mˆ eme rep` ere les repr´ esentations graphiques de ψ
h
sur [−1,2] pour
h=1 et h=
1
2
. On prendra 4 cm comme unit´ e en abscisse et 2 cm en ordonn´ ee.
54.2. Expliquer l’origine graphique de la d´ efinition de ψ
h
et son lien avec le probl` eme PC
1,1
.
On se contentera de fournir cette explication pour des r´ eels positifs.
5. On obtient dans cette question quelques propri´ et´ es utiles de ψ
h
qui seront utilis´ ees dans la
suite.
5.1. D´ emontrer que, pour tout r´ eel x, ψ
h
(x)=(1+h)
E
¡
x
h
¢‡
1+x−h E

x
h
··
.
5.2. D´ emontrer que, pour tout r´ eel x, on a : ψ
h
(x)=1+
Z
x
0
(1+h)
E
¡
t
h
¢
dt.
Indication : on pourra d’abord, pour x et y appartenant ` a l’intervalle
[nh,(n+1)h], exprimer ψh
(y)−ψh
(x) ` a l’aide d’une int´ egrale.
5.3. D´ emontrer l’in´ egalit´ e suivante :
pour tout (x,y)∈ 2
, ψ
h
(y)−ψ
h
(x)>(y−x)
¡
1+h
¢
E
¡
x
h
¢
5.4. Donner une interpr´ etation graphique de cette in´ egalit´ e.
5.5. En d´ eduire que ψ
h
est croissante et convexe sur .
6. On suppose dans cette question que x est un r´ eel strictement positif.
On va d´ emontrer l’existence de la limite lim
h→0
h>0
ψ
h
(x).
Pour cela, on introduit les deux applications α
x
et β
x de ]0,x] vers d´ efinies par :
α
x
(h)=ψ
h
(x) et β
x
(h)=ψ
h
[x(1+h)]
6.1. Construire, ` a l’aide de la calculatrice, un ´ echantillon de repr´ esentations graphiques des
applications α
x
et β
x
(pour des x fix´ es ` a choisir et h variant entre 0 et x). Quelles
conjectures peut-on faire sur les propri´ et´ es de ces applications ?
6.2. D´ eterminer le sens des variations de α
x
sur ]0,x].
Indication: onpourracommencerparprouverque αx
estd´ erivablesurchaque
i
x
p+1
,
x
p
h
,
p entier positif non nul, puis d´ emontrer la continuit´ e de αx
sur ]0,x].
De fa¸ con similaire, on d´ emontre que β
x
est croissante sur ]0,x]. Cette propri´ et´ e sera
admise pour la suite.
6.3. En d´ eduire que, pour tout r´ eel h appartenant ` a ]0,x], on a α
x
(h)6β
x
(x).
6.4. Conclure.
Ond´ emontreparunproc´ ed´ esimilairel’existencede lim
h→0
h>0
ψ
h
(x)danslecaso` uxeststrictement
n´ egatif. Dans la suite, on admettra ce r´ esultat. Le cas x=0 est banal.
7. Ond´ efinitdoncuneapplicationEde vers enposantE(x)= lim
h→0
h>0
ψ
h
(x). Ilreste` ad´ emontrer
queE est -solution du probl` eme PC
1,1
.
7.1. Quelles sont les propri´ et´ es de ψ
h
qui sont conserv´ ees par le passage ` a la limite sur h ?
7.2. D´ emontrer que, pour tous x,y r´ eels, on aE(y)−E(x)>(y−x)E(x).
7.3. En d´ eduire l’existence d’une solution pour le probl` eme PC
1,1
.
8. On revient au probl` eme PC
k,a
.
8.1. D´ emontrer que le probl` eme PC
k,a
poss` ede une unique -solution que l’on explicitera en
fonction deE.
8.2. En d´ eduire queE satisfait ` a la propri´ et´ e fonctionnelle fondamentale de la fonction expo-
nentielle.
9. Dans cette question, on utilise les r´ esultats de la partie B.
D´ emontrer queE=e.
6