Examen du Supérieur Ecole Supérieure de Physique et de Chimie Industrielles. Sujet de Première composition de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Première composition de Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2004
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
FILIÈREPC
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
Polynômes unitaires de norme minimale
Pour tout entierd0, on désigne parEdl’espace vectoriel complexe des polynômes à coefficients complexes de degrédet parUdle sous-ensemble des polynômes unitaires de degréd.
Première partie
∗ Soitn∈Net soientx1, x, . . .ndes nombres complexes distincts. On considère le polynôme P(X) =(X−xk), 1kn
et l’on désigne parPle polynôme dérivé deP.
1.Pour tout entierj,1jn, on pose P(X) Pj(X) =∙ (X−xj)P(xj) a)Montrer que cette expression définit un polynômePjde degrén−1.
b)CalculerPj(xk), pour1kn, et montrer que, pour tout polynômeF, le polynôme n LF=F(xj)Pjprend la même valeur queFen tous les pointsx1, x, . . .n. j=1
n c)Montrer quePj= 1. j=1
d)Les polynômesPj,1jn, forment-ils une base deEn−1?
1
n−1 i 2.Pour1jn, on posePj(X) =bi,jX, oùbi,j∈C. SoientVetBles matrices i=0 e e complexesn×ndont les éléments à lailigne (1in) et à lajcolonne (1jn) sont j−1 (xi)etbi−1,j, respectivement. Montrer queVest inversible, et queVetBsont inverses l’une de l’autre.
n j 1 (xk) 3.a)Montrer quebn−1,j=pour. Déterminer la valeur de0jn−1. P(xj)P(xk) k=1
n n−1 (X−xk) b)est un polynôme constant que l’on calculera.En déduire que P(xk) k=1 ∗ Dans toute la suite du problème,d∈Nest un entier fixé, etKest une partie compacte du plan complexe, contenant au moinsd+ 1éléments. On poseρ= sup|z|. Pour tout polynôme z∈K Q∈ Ed, on pose QK= sup|Q(z)|. z∈K
Deuxième partie
d i Pour tout polynômeQ∈ Ed, défini parQ(X) =aiX, on pose i=0 N(Qsup) =|ai|. 0id 4.a)Montrer queQ→N(Q)etQ→ QKsont des normes surEdet qu’elles sont équiva-lentes.
b)La fonctionQ→ QKest-elle continue sur l’espace vectoriel normé(Ed, K)?
QK 5.a)Majorersupen fonction deρ. N(Q) Q∈E d Q=0
b)On choisitn=d+ 1points distincts dansK,x1, . . ., xd+1, et l’on reprend les notations de la première partie. On poseβ= sup|bi,j|. En utilisant les résultats de la question2., 0id 1jd+1 montrer que N(Q) supβ(d+ 1). dQK Q∈E Q=0
Dans toute la suite du problème, on pose m= infQK. Q∈U d 2
d 6.a)Montrer que0mρ.
Troisième partie
b)Montrer queinfQK=m. Q∈U d d Qρ K
c)Montrer qu’il existeQ0∈ Udtel queQ0K=m.
Quatrième partie
∗ 7.Soientk∈Netckun nombre complexe non nul. Soitz0∈C. On considère le polynôme k Q(X) = 1 +ck(X−z0). Montrer qu’il existez∈Ctel que|Q(z)|>|Q(z0)|. [On pourra considérer le module et l’argu-ment decket dez−z0.]
8.Plus généralement, soitQ∈ Edet soitz0∈C. On suppose queQ(z0) = 1et queQn’est pas constant.
a)Montrer qu’il existe un entierk1, un nombre complexeck,ck= 0, et un polynôme Rtels que k k+1 Q(X) = 1 +ck(X−z0) +ck(X−z0)R(X).
b)Montrer que, pour tout réelr >0, il existez∈Ctel que|z−z0|=ret k k Q(z) = 1 +|ck| |z−z0|+|ck| |z−z0|(z−z0)R(z).
c)Montrer que, pour tout réelr >0, il existez∈Ctel que|z−z0|ret |Q(z)|>|Q(z0)|. 9.a)Montrer que la propriété démontrée à la question8.c)est satisfaite pour tout polynôme non constantQ∈ Edet pour tout pointz0∈C.
b)En déduire que, pour toutQ∈ Ed, sup|Q(z)|= sup|Q(z)|. |z|1|z|=1 c)Montrer que, pour toutQ∈ Ed, Q(z) sup =sup|Q(z)|. d z |z|1|z|=1 d)Dans cette question, on choisitK={z∈C| |z|1}. Montrer que le polynôme d Q0(X) =Xsatisfait Q0K=m .
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Cinquième partie
10.Soientz0etz1deux nombres complexes non nuls. Montrer que|z0+z1|=|z0|+|z1|si et seulement s’il existe un réelλ >0tel quez1=λ z0.
PourQ∈ Ed, on pose M(Q) ={z∈K| |Q(z)|=QK}. 11.On suppose qu’il existe des polynômes distinctsQ0∈ UdetQ1∈ Udvérifiant
Q0K=Q1K=m .
Pour toutt∈]0,1[, on pose Qt=t Q1+ (1−t)Q0. a)Montrer que, pour toutt∈[0,1],QtK=m.
c)En déduire que, pour toutt∈]0,1[, Card(M(Qt))< d.
12.On suppose qu’il existeQ∈ Udtel queQK=met tel que Card(M(Q))d.
a)Montrer qu’il existe un polynômeL∈ Ed−1tel que, pour toutz∈ M(Q),L(z) =Q(z).
1 ∗ ∗ b)SoitQp=Q−L, pourp∈N. Montrer que, pour chaquep∈N, il existezp∈K p tel que|Qp(zp)|QK.
On admettrale résultat suivant : il existe une suite strictement croissante de nombres entiers, p→np, telle que la suitep→znpconverge vers un élémentde la partie compacteKdeC, quandptend vers+∞.
c)Montrer que|Q()|=QK. En déduire queQ() =L().
)etL(z) =Q()(1 +ε)(1 +ε) petεp d)Montrer queQ(znp) =Q()(1 +εp npp p, oùε sont des suites de nombres complexes, définies pourpassez grand, telles quelimεp= 0et p→+∞ mε= 0. En déd |1 +εp|1, etlipuire que, pourpassez grand,|Qnp(znp)|<QK. p→+∞
13.Y a-t-il unicité du polynômeQ0∈ Udtel queQ0K=m?