Révision d'analyse et d'algèbre 2007 Université de Technologie de Belfort Montbéliard

Jmartin

Description

Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Révision d'analyse et d'algèbre 2007. Retrouvez le corrigé Révision d'analyse et d'algèbre 2007 sur Bankexam.fr.

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• 2007

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 20 janvier 2008
• Nombre de lectures: 32
• Langue: Français

Extrait

Utbm mt30,xt30

Examen médian:durée 2 heures

Automne 2007

Nb: Lesdifférents exercices sont indépendants. Ils seront absolument rédigés sur des copies séparées.

Exercice 1 Nombres complexes   −→−→ Le plan affinePest rapporté au repère orthonormé directO, i, j.

1.1Résoudre dansCl’équation suivante: 2 z−2z+ 2 = 0. 1.2SoientK,L,Mles points dePd’affixes respectivesz K ,z L ,z M définies par: √ z K = 1 +i;z L = 1−i;z M =−i3.

(a)On appelleNle symétrique du pointMpar rapport au pointLl’affixe. Calculerz N deN. π (b)La rotationrde centreOtransforme le pointet d’angleMen le pointAet le pointNenB. 2 Déterminer les affixes respectives deAetB,z A etz B . −→ −→ (c)La translationtde vecteurud’affixe2i, transforme le pointNen le pointC. Déterminerl’affixez C u du pointC. z A −z C 1.3Montrer que=ipeut-on en déduire pour le triangle. QueABC? z B −z C

Exercice 2 Suites: méthodedite de Héron d’Alexandrie (−125avant JC environ) Nb: Onchange de feuille !

On définit la suite(u n )par :  u 0 = 3;   1 10 u=u+. n+1n 2u n √ On se propose de montrer que(u n )converge vers10. 2.1Etude de quelques propriétés de la suite(u n ) (a)Montrer par récurrence que pour toutndeNon a:u n >0. (b)Montrer que pour toutndeN   2 2 u−10 n 2 u−10 =. n+1 2 4u n √ ∗ (c)Montrer que pour toutndeNon a:u n ≥10. 2.2Convergence de(u n ) (a)Montrer que la suite(u n ) n≥1 est décroissante.En déduire que la suite(u n )est convergente. √ (b)Montrer que sa limite estl= 10. .../...

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2.3"Qualité" de la convergence (a)En utilisant la relation √ √ 2 u n+1 −10 = (u n+1 −10)(u n+1 + 10) √ √ donner une majoration deu n+1 −10en fonction deu n −10. √ (b)On supposeu 1 −10≤k. Montrer que pour toutn≥1on a :   n−1 2 √ √ k u n −10≤2 10 √ . 2 10

(c)Application √ En utilisant la suite(u n ), fournirl= 10avec huit décimales exactes. Combien de termes ont-ils été nécessaires pour atteindre cette précision?

Exercice 3 Matrices Nb: Onchange de feuille !

On considère l’ensembleM 3 (R)des matrices carrées de côté3à coefficients réels; on noteIsa matrice unité. Soitmun paramètre réel quelconque. On donneAdeM 3 (R)par:   m1 1   A = 1m1 . 1 1m

On se propose dans cet exercice de déterminer les valeurs du paramètrempour lesquelles la matrice est inversible sans calcul de déterminant. 3.1Montrer qu’il existe une matriceJ, à calculer, pour laquelle on a: A= (m−1)I+J.

2 3.2CalculerJet en déduire qu’on peut écrire:

2 A= (2m+ 1).A+ (1−m) (m+ 2).I

3.3Déduire de la question précédente :

(a)les valeurs dempour lesquellesAest inversible;

(b)la matrice inverse deA, lorsqu’elle existe, en fonction dem.

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