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Solution partielle du sujet de Mathematiques Generales Cachan 3A parties I et II

De
10 pages
Solution partielle du sujet de Mathematiques Generales, Cachan 3A 2010 (parties I et II) Avertissement: Je tiens a preciser que je ne suis pas lie a l'Ecole Normale Superieure de Cachan; par suite les affirmations vraies ou fausses contenues dans ces pages ne sauraient engager l'Ecole. Olivier Garet, le 12 janvier 2011 I Abscisse de convergence; abscisse de convergence absolue I.A.1 Avant de commencer, on peut remarquer que si f(s) = ∑n≥1 |an|n?s, on a ?a(f) = ?c(|f |) et qu'il y a egalite si (an) est a termes positifs. • n!ns Soit s ? R quelconque. Soit k un entier avec k > s. Pour n ≥ k, on a n! ≥ n(n?1) . . . (n?k+1) ≥ (n?k+1)k, d'ou n!n?s ≥ (n?k+1)kns , d'ou limn?+∞ n!n?s = +∞: la serie est trivialement divergente: Ac(f) = Aa(f) = ? et donc ?a(f) = ?c(f) = +∞. • n?sn! . Soit s ? R quelconque. Soit k un entier avec k ≥ ?s. Pour n ≥ k, on a n?s n! ≤ nk n! = nk n(n? 1) .

  • ???? ≤

  • critere special des series alternees

  • solution partielle du sujet de mathematiques generales

  • serie

  • calcul elementaire

  • k? ?


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SolutionpartielledusujetdeMathematiquesGenerales,Cachan3A2010 (parties I et II)
Avertissement: Je SuperieuredeCachan; ces pages ne sauraient
tiensapreciserquejenesuis par suite les armations vraies engager l’Ecole.
Olivier Garet, le 12 janvier 2011
pasliealEcoleNormale ou fausses contenues dans
I Abscisse de convergence; abscisse de convergence absolue P s I.A.1 Avant de commencer, on peut remarquer que sif(s) =|an|n, on n1 aa(f) =c(|f|lyiega)quet(latieisanositifs.atermesp)set s n!n SoitsRquelconque. Soitkun entier aveck > s. Pournk, on k (nk+1) ks an!n(n1). . .(nk+ 1)(nkdo)1,+un!ns, n s doulimn+n!n= +:l:aserieesttriviaelemtnidevgrneet Ac(f) =Aa(f) =et donca(f) =c(f) = +. s n . n! SoitsRquelconque. Soitkun entier aveck s. Pournk, on a ks k n n n1 =n!n!n(n1). . .(nk+ 1)(nk)! (nk)!
quiestletermegeneralduneserieconvergenteatermespositifs: ainsiAc(f) =Aa(f) =Ret donca(f) =c(f) =∞. s n LecritereditdeRiemannditqueAc(f) =Aa(f) =]1,+[ et donc a(f) =c(f) = 1.
ns (1)n Daprescequiprecedea(fPour) = 1. sntiaivmeleeeirrttsl,0esa divergente. Pours <tveerrgeesgprˆaecreaiueccroin0l,saceaidlse seriesalterneesavaleurabsoluedecroissante.AinsiAc(f) =]0,+[, etc(f) = 0. n (1) s nn n+(1) n n (1) (1) s Onpeutreecrirenn=s+1/2n s. La valeur absolue n+(1)n+(1)n 1 1 ests+1/2n ss+1/2ser.Lanveriecoesteisegstnemelui n+(1)n n s+ 1/2>1, soits >1/2. On a donc
Aa(f) =]1/2,+[,eta(f) = 1/2.
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