Suites – Séries – Fonctions de variable complexe 2006 Tronc Commun Université de Technologie de Belfort Montbéliard

Rémy Garandel

Description

Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Suites – Séries – Fonctions de variable complexe 2006. Retrouvez le corrigé Suites – Séries – Fonctions de variable complexe 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2006

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 janvier 2008
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

MT 26  FinalPrintemps 06 Jeudi 29 juin2006 Matériel autorisé: uniquement une feuille aidemémoire A4 recto I. Première partie ( 6 + 6points ) 1°) Soit a Î N et la fonction f, de période 2R \ p définie sur ] -p , + p f (x)] par : = sin( a x) . + a) Représentergraphiquement cette fonction en prenant par exemple a = 0,5. b) Existetildes valeurs de a pour lesquelles f est continue ? c) Développerla fonction f en série de Fourier. p 2 (2p + 1)( - 1) n d) Endéduire les sommesS = et S = . å å 1 22 2 2 2 2 (2p + 1) - a c h p ³ 0 n ³ 1 n - a n 2n n x + x 2°) Soitla suite de fonctions (f) définiepar " x Î - 1, + 1 " n ³ (x)2 f = n n>1 n 2 n - 1 a) Étudierla convergence simple, puis la convergence uniforme de cettesuitesur [ - 1, +1]. ¥ b) Déterminerle domaine de convergence (D) de lasérie  S(x) = . f (x) å n n = 2 1 n c) Décomposeren éléments simples les fractionset etcalculer la forme explicite (à 2 2 n - 1 n - 1 l’aide de fonctions usuelles) de S(x). d) Calculer,si ce calcul est possible, S( - 1).

II. Seconde partie points )+ 4 + 3( 2

2 1°) Développeren série entière les fonctions g et h définies parg(x) = 1 - x et h(x) = 1 - x pour x Î I, avec I = ] - 1, +1[. 2 c 2°) Onconsidère l’équation différentielle (E )1 - x y" - x y' + y = 0 qu’on résout surI = ] - 1, +1[. 0 a) Déterminerune série entière en 0 solution de l’équation (E). 0 b) Endéduire sous forme explicite deux fonctions indépendantes yet y , solutions de (E ) et écrire 1 20 la solution générale sur I. 3°) Soitla fonction f définie sur R² par f(x,y) = x² y - x y² + xy. a) Déterminerl’ensemble S des points critiques, c’estàdire l’ensemble des points en lesquels on pourrait avoir un maximum ou un minimum. 1 1 G J b) Montrerque les points O(0, 0) etA - , sontdans S et étudier l’existence d’un extremum en H 3 3 K ces points. J’aime les calculs faux, car ils donnent des résultats plus justes  HansARP ( 1886  1973 )