Sujet du bac S 2010: Mathématique Spécialité

Education Nationale

Description

Géométrie et projeté orthogonal, probabilité conditionnelle, similitude complexe, analyse de fonction et de courbe.
Sujet du bac 2010, Terminale S, Amérique du Nord

Sujets

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2010
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• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Amérique du Nord 3 juin 2010\

E XERCICE 1 ³ ´ −→−→ −→ L’espace est rapporté à un repère orthonormalO,ı,,k. Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives :

4 points

A(1 ;−4) B(2 ;−2 ;−5) C(6 ;−4 ; 0 ;−3). 1. a.Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. −→ b.Démontrer que le vecteurn(1 ;−1 ;−1) est un vecteur normal au plan (ABC). c.Déterminer une équation du plan (ABC). 2. a.Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC). ′ b.Déterminer les coordonnées du point Oprojeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). 3.On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur La droite (BC). −→−→ Soittle réel tel que BH=tBC . −→−→ BO∙BC a.Démontrer quet=. 2 −→ ° BC ° b.En déduire le réeltet les coordonnées du point H.

E XERCICE 2 3points Une urne contient des boules indiscernables au toucher. 20 % des boules portent le numéro 1 et sont rouges. Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10 % sont rouges et les autres sont vertes. 1.On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit rouge ? 2.On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge. 2 Montrer que la probabilité qu’elle porte le numéro 2 est égale à. 7 3.Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2. On effectuentirages successifs d’une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l’urne). a.Exprimer en fonction denla probabilité d’obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours desntirages. b.Déterminer l’entiernà partir duquel la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours desntirages est supé rieure ou égale à 0,99.

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

E XERCICE points3 5 Enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé directO,u,vd’unité graphique 2 cm. On réalisera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice. On considère les points A d’affixe i, B d’affixe−2i et D d’affixe 1. On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct. ′ Soitfl’application qui à tout pointMd’affixez(z6=i) associe le pointMd’affixe ′ zdéfinie par : 2z−i ′ z=. iz+1 Ã ! 1 3 1.Démontrer que le point E a pour affixe+(1+i). 2 2 ′ 2.Exprimer sous forme algébrique l’affixe du point Dassocié au point D par l’applicationf. ¡ ¢ ′ 3. a.Démontrer que, pour tout nombre complexezdifférent de i,z+2i (z− i)=1. b.En déduire que pour tout pointMd’affixez(z6=i) : ′ BM×AM=1 ³ ´³ ´ −−→ −→ −→−−→ ′ etu, BM= −u, AM+k×2πoùkest un entier relatif.

4. a.Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon2. ′ b.En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point Easso cié au point E par l’applicationf. On laissera apparents les traits de construction. ′ ′ 5.E ?Quelle est la nature du triangle BD

E XERCICE points3 5 Enseignement de spécialité Partie A On cherche l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x,y) solutions de l’équa tion

(E) :16x−3y=4. 1.Vérifier que le couple (1, 4) est une solution parliculière de (E). 2.Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équa tion (E).

Partie B ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. On considère la transformationfdu plan, qui à tout pointMd’ affixez, associe ′ ′ le pointMd’affixezdéfinie par

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A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

3iπ ′ 8 z=2ez. On définit une suite de points (M n ) de la manière suivante : le point M 0 a pour afflxez 0 =i et pour tout entier natureln,M n+1 =f ( M n ). On notez n l’affixe du pointM n Les points M 0 , M 1 , M 2 et M 3 sont placés sur la figure donnée en annexe page 6. 1.Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f. 2.On notegla transformationf◦f◦f◦f. a.Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transfor mationg. b.En déduire que pour tout entier natureln, OM n+4 =4OM n et que ³ ´ −−−−−→−−−→ π OM n , OM n+4 += −k×2πoùkest un entier relatif. 2 c.Compléter la figure en construisant les points M 4 , M 5 et M 6 . ³ ´ ¡ ¢ n π3nπ i+ 2 8 3.Démontrer que pour tout entier natureln,z n =.2 e 4.Soient deux entiers naturelsnetptels quep 6 n. ³ ´ −−−→−−−→ a.Exprimer en fonction denetpune mesure deOM p , OM n . b.Démontrer que les points O,M p etM n sont alignés si et seulement si n−pest un multiple de 8. 5.Déterminer l’ensemble des entiers naturelsntels que le pointM n appar tienne à la demidroite [Ox). On pourra utiliser la partie A.

E XERCICE points4 8 À tout entier naturelnnon nul, on associe la fonctionf n définie surRpar nx 4e f n (x)=. nx e+7 On désigne parC n la courbe représentative de la fonctionf n dans un repère ³ ´ −→−→ orthonormal O,ı,. Les courbesC 1 ,C 2 etC 3 sont données en annexe. x 4e Partie A :Étude de la fonctionf 1 définie surRparf 1 (x)= x e+7 4 1.Vérifier que pour tout réelx,f 1 (x)=. −x 1+7e 2. a.Démontrer que la courbeC 1 admet deux asymptotes dont on préci sera des équations. b.Démontrer que la fonctionf 1 est strictement croissante surR. c.Démontrer que pour tout réelx, 0<f 1 (x)<4. 3. a.Démontrer que le point I 1 7 ;de coordonnées (ln2) est un centre de symétrie de la courbeC 1 . b.Déterminer une équation de la tangente (T 1 ) à la courbeC 1 au point I 1 .

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A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

c.Tracer la droite (T 1 ). 4. a.Déterminer une primitive de la fonctionf 1 surR. b.Calculer la valeur moyenne def 1 sur l’intervalle [O; ln7].

Partie B :Étude de certaines propriétés de la fonctionf n . µ ¶ 1 1.Démontrer que pour tout entier naturelnnon nul le point A0 ;appar 2 tient à la courbeC n ∙ 2. a.Démontrer que pour tout entier naturelnnon nul la courbeC n et la droite d’équationy=2 ont un unique point d’intersection dont on précisera l’ abscisse. On noteI n ce point d’intersection. b.Déterminer une équation de la tangente (T n ) à la courbeC n au point I n . c.Tracer les droites (T 2 ) et (T 3 ). 3.Soit la suite (u n ) définie pour tout entier naturelnnon nul par Z ln 7 n n u n =f n (x) dx. ln 7 0 Montrer que la suite (u n ) est constante.

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C 3

C 2

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M 2 −2 M 3

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y

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Exercice 3 (enseignement de spécialité)

Exercice 4

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y

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A. P. M. E. P.

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x

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O

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x 8

Baccalauréat S

2 M 0 M 1 −→ v −→ O −2 u

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Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve