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Concours Externe B
Technicien Territorial 1997
3 heures Coef : 4
« Cette épreuve se compose de deux parties indépendantes ».
PARTIE I
On considère la fonction numérique f définie par
f
(
x
)=3
x
x
ln|
x
|
pour
x
≠ 0
et
f
(0) = 0
On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan ;
unité :
1
4
cm
1.
Etudier la continuité et la dérivabilité de la fonction
f
. Calculer sa dérivée.
2. Préciser son domaine d'étude et construire son tableau de variation.
3. Calculer les coordonnées des points d'intersection de (C) avec l'axe des abscisses.
4. a. Déterminer une équation de la tangente à (C) au point d'abscisse
x
= e
b. Démontrer que la courbe (C) admet une tangente à l'origine que l'on précisera.
5. Construire (C).
6. Calculer l'aire du domaine plan, ensemble des points dont les coordonnées (x,y)
vérifient
1
0
(
)
x
e
y
f
x
PARTIE II
Soit ABC un triangle équilatéral de côté
a
, où
a
est un nombre réel strictement positif
donné. On désigne par B' le milieu de [AC] et par D le point défini par la relation :
4AD = AB + 3BC
JJJG
JJJG
JJJG
1.
Démontrer que
3
BD =
BB'
2
JJJG
JJJG
. En déduire que D appartient à la médiatrice du
segment [AC].
2. Calculer
BB', BD et AD
JJJG JJJG
JJJG
en fonction de
a
.
3.
Démontrer que D est le barycentre des points pondérés (A, 3), (B, -2) et (C, 3).
4. Pour tout point M du plan on pose :
f
(M) = 3MA
2
- 2MB
2
+ 3MC
2
a. Calculer
f
(D) en fonction de
a
.
b. Calculer
f
(M) en fonction de
a
et de MD.
On pourra utiliser les relations :
MA = MD + DA ; MB = MD + DB ; MC = MD + DC
JJJJG
JJJJG
JJJG
JJJJG
JJJJG
JJJG
JJJJG
JJJJ
G
J
JJG
.
c. Déterminer et tracer l'ensemble des points M du plan tels que f(M) = f(G), où G
est le centre de gravité du triangle ABC.
d. Soit k un nombre réel donné. Déterminer l'ensemble des points M du plan
vérifiant la relation : f(M)= k. Discuter.