Techniques mathématiques pour les STI/STL 2006 Tronc Commun Université de Technologie de Belfort Montbéliard

Description

Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Techniques mathématiques pour les STI/STL 2006. Retrouvez le corrigé Techniques mathématiques pour les STI/STL 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2006

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 août 2008
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Français

Extrait

le 19 Janvier 2007UTBM PM18 M´edian Calculatricesinterdites.Leseuldocumentautoris´eestune feuille A4 recto-versore´dig´eea`lamain Chaqueexercicedoitˆetrer´edig´esurunefeuille diffe´rente

Ilseratenucomptedanslacorrectiondelapr´esentationetdelare´dactioncorrectedes d´emonstrations.

Exercice 1- 10 points 1)D´eterminer,danschacundescassuivants,lesensemblesdepoints: |a−5| a -{a∈R,= 1}, |a+5| |z−5| b -{z∈C,= 1}, |z+5| |x−5| 2 c -{(x, y)∈R,= 1}, |y+5| 2)Discutersuivantlesvaleursduparam`etrem∈Rleel´esrneciradeerbmonel,dsse e´quationssuivantes(Pr´eciserdansquelscascespolynˆomesontdeuxracinesdistinctesde signeoppose´): 2 a -(m−3)x+ (2m−1)x+m+ 2 = 0, 2 b -mx−2(8m+ 1)x+ 4(4m+ 1) = 0. x.sin(x) 3)De´riversurRe´nfioidnnotclfariepaf(x) =e.

Exercice 2(NOUVELLE FEUILLE) - 6 points 1) En quoi le raisonnement suivant est-il faux? SoitP(n)oppr´e”ert´ilanemeclamˆur”.ouleossrueluedsuottnraccodensyo *P(1)e.tscerarvialeurquelui-mˆemetseraledmeˆmuocecrunonaycodeeuul * SupposonsP(n). Soitn+ 1crayons. On en retire1. Lesncrayons restants sont de lameˆmecouleurparhypoth`eseder´ecurrence. Reposons ce crayon et retirons-en un autre; lesnuveauxcrdeauno`tnauoevyanossno lameˆmecouleur.Lepremiercrayonretire´´etaitdoncbiendelameˆmecouleurquelesn autres. La proposition est donc vraie au rangn+ 1. *Onadoncde´montre´quedescrayonsdecouleursonttousdelamˆemecouleur. 2)D´emontrerparre´currencequ’`apartirdenresi,)apno’ce´rd(anelqussagrez n 2> n+ 1. TOURNER LA PAGE SVP

1

Exercice 3(NOUVELLE FEUILLE) - 8 points

Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe des ensembles de nombres rationnels quiontunebornesupe´rieurenonrationnelle. Siunequestionposeproble`me,admettreler´esultatetpasser`alasuivante! 1) Montrer que 2 n entier impair=⇒n entierimpair. 2 Cequid´emontreparlameˆmeoccasion,parcontrapos´ee,n entierpair=⇒n entier pair. √ √ p 2) on veut montrer que26∈Q, c.a.d. que2 =avecp, q∈Zest impossible. q √ p On suppose que2 =plimase`ttui(qpuopo,snap2rfiirequeserapouqest impair). q a-Montrerque,aveccettehypoth`ese,onauraitppair (utiliser le 1). b-End´eduirequ’onaurait´egalementqpair. √ p c-End´eduireque2 =est impossible. q ´ QUESTIONS SUPPLEMENTAIRES : 3) SoitE(.)e(eri`nteetiarapl.c.a.d∀x∈R, E(x) =max{n∈Z, n≤x}”le plus grand entierinfe´rieurou´egal`ax”). √ n E( 2.10 ) Onconside`rel’ensemble{a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n , ...}aveca n = n . 10 √ a - Sachant que2 = 1.414213562..., calculera 0 , a 1 , a 2 , a 3 b - conclure.

2