Traitement du signal pour le mécanicien 2007 Ingénierie et Management de Process Université de Technologie de Belfort Montbéliard

Patrice

Description

Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Traitement du signal pour le mécanicien 2007. Retrouvez le corrigé Traitement du signal pour le mécanicien 2007 sur Bankexam.fr.

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• 2007
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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 août 2008
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Extrait

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Final SY53 Pr 2007

NOM : Note : TRAITEMENT DU SIGNAL /21 Dure : 1H50. Calculatrice non autorise car inutile. Aucun document personnel nest autoris. Le sujet contient un formulaire en annexe. Pour chaque rponse, on expliquera la dmarche qui conduit au rsultat propos. Les expressions mathmatiques seront exprimes littralement avant dtre ventuellement calcules de faon numrique. EXERCICE 1 5 Considrons un signal f(t) ayant pour densit spectrale d’nergie la fonction S ( ) suivante : ff S f f ( ) A A/4 −3ν −2ν−ν 0 2 0 3 0 0 0 0 1)Dterminer E f , l’nergie totale du signal f. Ce signal f est appliqu  l’entre d’un filtre passe- bande idal de gain 2 et de bande passante centre sur 0 +2νet−2ν. 0 0 2)Dterminer la fonction de transfert harmonique H ( ) de ce filtre idal.

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3)Dterminer la densit spectrale d’nergieS YY ( )  du signal y(t)  la sortie du filtre. Reprsenter graphiquement S YY ( ) Dterminer E y l’nergie totale du signal y(t). EXERCICE 2 3,5 (Exercice extrait partiellement des annales) Un groupe d’tudiants ralise au laboratoire une exprience mettant en œuvre un haut-parleur (HP suppos parfait) excit par un bruit blanc (not b ( t ) ) et deux microphones M 1 M et 2 l’on supposera parfaits que fournissant les signaux e 1 ( t ) e et 2 ( t ) . L’ensemble est dispos selon le schma suivant:  e 2 ( t ) e 1 ( t ) M HP x d •La clrit du son dans le milieu de propagation de l’exprience sera note C. •On supposera que le milieu de propagation ne dforme pas les sons. •Le bruit blanc b ( t ) a une DSP constante: S ( ) =A . bb

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1)Dterminer la fonction d’autocorrlationC ( τ )  du bb bruit blanc b ( t ) . Interprter la rponse. 2)eDterminer les signaux 1 ( t )  et e 2 ( t )  (on appellera 1 et 2 les coefficients d’attnuation en M 1 et M 2 ). 3)Calculer l’intercorrlation C ( τ )  entre les signaux e e 1 2 e 1 ( t ) ete 2 ( t ) . Reprsenter graphiquement l’allure de C ( τ ) . e e 1 2 C e e ( τ ) 1 2 τ

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3 EXERCICE 3 Considrons le signal s ( t ) =f ( t ) ⋅g ( t ) constitu du signal sinusodal f : t→f ( t ) =A cos ( 2πν 0 t )  que l’on observe   t 0  travers une fentre triangulaire g : t→g ( t ) =tri   .  3  1)Reprsenter graphiquement s(t). 2)Dterminer S ( ) , la transforme de Fourier de s(t). Reprsenter graphiquement S ( )

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EXERCICE 4 4 Considrons le signal f(t) suivant :

Un zoom fait apparatre les dtails suivants :

Sa densit spectrale de puissance est :

On souhaite chantillonner ce signal.

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1)En tenant compte des particularits de ce signal, proposer deux mthodes qui permettent de dterminer les paramtres d’chantillonnage. Expliquer ces deux mthodes sans effectuer les calculs. 2)Dvelopper la mthode de votre choix pour dterminer les paramtres d’chantillonnage.

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Questions de Cours : 5,5 1)Est-il possible d’chantillonner un signal sans perte d’information en ne respectant pas le thorme de Shannon (Expliquez et justifiez) 2)Quels liens y a-t-il entre l’chantillonnage idal et la modulation d’amplitude ? (expliquer et argumenter) 3)Soit f A (x) un signal priodique de priode A reprsentant une force en Newton en fonction d’une distance en mtre : Quelles proprits remarquables a la fonction d’autocorrlation C ( τ ) ? f A f A Quelle est l’unit deτ? Quelle est l’unit de C f ( τ ) ? A f A Que reprsente C ( 0 ) ? f A f A

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FORMULAIRE +∞ Convolution : f∗g : t→(f∗g)(t)=f(a)g(t−a) da  −∞ +∞ * Energie totale :E=(t)tdff)t(  − ∞ * Energie d’interaction sur l’intervalle T :E xy (T)=(txt)dy)t(  T Puissance moyenne d’un signal priodique : +∞ 1 2 2 P moy =f ( t ) dt= α n  T  T n= −∞ Signaux alatoires : 1 + ∞ Moyenne : moy=E(x i )=Lim x i (t)dt=xp(x)dx   T→ +∞ T− ∞ T 2 1 2 2 + ∞ Puissance :P=(E)x=Lim ( x (t) ) dt=x p(x)dx   i i T→ +∞ T− ∞ T  S  2N−3 Rapport signal/bruit de quantification :   =12.2 et  B  max  S    =6,02.N+1,76 dB  B  max dB Dcomposition en srie de Fourier : +∞ a   2Πnt   2Πnt   0 f(t)= +a cos   +b sin     n n      2 n=1  T T  T T + + 2 2  2Πnt  2 2  2Πnt   et   avec a n = T f(t)cos  dt b n = T f(t)sin dt  −  −     T 2 T T 2 T 2Π +∞ nt T 2Πnt T 1 2 1 2 j + −j + T T c α = α = ou f(t)=  αe ave n  − T f(t)e dtet 0  − T f(t)dt n = −∞ T T 2 2 n Transformation de Fourier : +∞ +∞ j2Πνt −j2Π νt x(t)=X(ν)e dν  X(ν)=td)e(tx et  − ∞ −∞ Quelques proprits de la transforme de Fourier. TF 1   f(at)→F     a a TF f ( −t ) →F ( − ν ) ∗ TF ∗ f ( t ) →F ( − ν ) TF −j2Πaν f(t−a)→Fe(ν) j2Π at TF ef(t)→F(ν −a) TF f×g→F∗G TF f∗g→F×G TF f ′ (t)→j2ΠνF(ν) (n) TF n f(t)→(j2Πν()Fν)

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TF TF f(t)→F(ν)→f(−t) +∞ +∞ 2 2 f(t) dt=F(ν) dν  − ∞  − ∞ +∞  n  F(ν)δ= α  − ν  Transforme des signaux priodiques :  n   T n= −∞ Autres proprits : f ( t ) F ( ) relle Re(F) est paire Im(F) est impaire relle et paire relle et paire relle et impaire imaginaire et impaire Quelques Transformes de Fourier. Fourier 1→ δ ( ν ) Fourier δ ( t ) →1 Fourier rect(t)→sinc ( ν ) Fourier 2 tri(t)→sinc ( ν ) Fourier sinc ( t ) →rect(ν) 2 Fourier sinc ( t ) →tri(ν) Fourier j sgn(t)→ − πν Fourier 1 j ech(t)→ δ ( ν ) − 2 2πν −t  e pour t≥0 rier 1 Fou ie1(t)=  → 0 pour t< 0 1+j2πν  −t Fourier 2 ie2(t)=e→ 2 1+ ( 2πν ) 2 2 −π t Fourier −πν ig(t)=e→e Fourier 1 cos ( 2πft ) → ( δ ( ν −f ) + δ ( ν +f ) ) 2 Signaux  nergie finie : 2 * DSE : S ( ν ) =F ( ν ) : DSEI S ( ν ) =F ( ν ) G ( ν ) ff fg Signaux  nergie non finie :  1  2 DSP :S ff ( ν ) =Lim  F T ( ν )  T→ +∞  T  +∞ 2  n  pour les fonctions priodiques S ff ( ν ) = α n δ  ν −   n= −∞  T   1 *  DSPI : S fg ( ν ) =Lim  F T ( ν ) G T ( ν ) dν  T→ +∞  T 

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Autocorrlation et intercorrlation des fonctions  nergie finie +∞ +∞ ∗ ∗ C ( τ ) =x ( t ) ⋅x ( t− τ ) dt etC ( τ ) =x ( t ) ⋅y ( t− τ ) dt  −∞  − ∞ xx xy Autocorrlation et intercorrlation des fonctions  nergie non finie T T + + 1 ∗ 1 ∗ 2 2 C xx ( τ ) =lim T x ( t ) ⋅x ( t− τ ) dt et C xy ( τ ) =Lim T x ( t ) ⋅y ( t− τ ) dt   T T T − → +∞ T→ +∞ − 2 2 Pour les fonctions priodiques : T T 1 2 ∗ 1 2 ∗ + + C xx ( τ ) = T x ( t ) ⋅x ( t− τ ) dt et C xy ( τ ) = T x ( t ) ⋅y ( t− τ ) dt  −  − T 2 T 2 Autocorrlation et intercorrlation des fonctions alatoires T ∗ 1 ∗ + 2 C ( τ ) =E [ x ( t ) x ( t− τ ) ] =lim x ( t ) ⋅x ( t− τ ) dt  xx T T − → +∞ T 2 T + ∗ 1 ∗ 2 et C xy ( τ ) =E [ x ( t ) y ( t− τ ) ] =Lim T x ( t ) ⋅y ( t− τ ) dt  T − → +∞ T 2 Formules dEuler. 1 jx−jx 1 jx−jx + et= −cos ( x ) = ( e e ) sin ( x ) e e ( ) 2 2j Formules de trigonomtrie. cos ( a+b ) =cos ( a ) cos ( b ) −sin ( a ) sin ( b ) cos ( a−b ) =cos ( a ) cos ( b ) +sin ( a ) sin ( b ) sin ( a+b ) =sin ( a ) cos ( b ) +sin ( b ) cos ( a ) sin ( a−b ) =sin ( a ) cos ( b ) −sin ( b ) cos ( a ) 1 cos ( a ) cos ( b ) = [ cos ( a+b ) +cos ( a−b ) ] 2 1 sin ( a ) sin ( b ) = [ cos ( a−b ) −cos ( a+b ) ] 2 1 sin ( a ) cos ( b ) = [ sin ( a+b ) +sin ( a−b ) ] 2  ∀t≠0δ(t)=0   δ(0)= +∞ Dirac   +∞  δ(t)dt=1   −∞ 1 δ(at)= δ(t) a f(t)(t−t )=ftt()(−t ) 0 0 0

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