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IS Math314
Université U.F.R. de
des Sciences et Mathématiques
Technologies de Lille Pures et Appliquées
Corrigé du partiel du 17 avril 2009.
Année 2009
Ex 1.Dé et compensations exactes (4 points) On lance indéfiniment un dé équilibré. On dit qu’un lancer réalise une compensation exacte si une fois ce lancer effectué, chacune des faces du dé est apparue le mme nombre de fois depuis le début des lancers. Le nombre total de lancers effectués lorsque l’on observe un tel évènement est donc nécessairement un multiple de6. Pournentier, on o noteEnl’évènement « le lancer n6n» réalise une compensation exacte. 6 1) Le vecteur aléatoireNdeNdes nombres d’apparitions de chacune des faces enmlancers suit la loi multinomiale de paramètresm(nombre total de lancers) et o p= (p1, . . . , p6)piest la probabilité d’apparition de la face nilors d’un lancer. On a donc pour tout sextuple(j1, . . . , j6)d’entiers de sommem,
  m! j1j6 P N= (j1, . . . , j6) =p1. . . p6. j1!. . . j6!
Puisque le dé est « équilibré », on peut prendre chaquepiégal à1/6. En prenantj1= j2=∙ ∙ ∙=j6=ndans la formule ci-dessus, on obtient alors   6n (6n)! 1 P(En) =. 6 (n!) 6 k+1/2k 2) On rappelle que par la formule de Stirling,k!est équivalent à2πke quandktend vers l’infini. En appliquant cette formule aveck= 6net aveck=n, on obtient :   11 6 6n+6n n+n6n1/25/25/2 P(En)2π(6n) e 2πne 6 (2= 6 π)n . 2 2
5/2 3) AinsiP(En)cnaveccconstante positive et comme l’exposant5/2est strictement supérieur à1, lasériede terme général positifP(En)converge. Le premier lemme de Borel-Cantelli nous dit alors que l’évènement « réalisation d’une infinité de En» est de probabilité nulle. Autrement dit, presque-sûrement, dans une suite infinie de lancers d’un dé équilibré, il ne se produit qu’un nombre fini de compensations exactes.
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