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Universit´eParisVI LM 125 – Correction de la session de rattrapage (Janvier 2010)
Question de cours.naenlrD)noitn´eadanurndiopaenudgoitacilp line´aire. b) SoientE1etE2deux espaces vectoriels de dimension finie surRetf: E1E2dumeaeppnueairlin´tionlicatusnas(rertnoM.e`eor´ethleerisil rang) que rg(f)dim(E1). Solution : SoitE1un espace vectoriel de dimension finie,E2un espace vectoriel et f:E1E2(il´nitno.eiSaeriunlicaeappe1, e2, . . . , en) est une base deE1, alors (f(e1), f(e2), . . . , f(eneedicrtare´ne´gellima)estunef)Im(f) qui est doncunespacevectorieldedimensionnie.Lerangdelapplicationlin´eaire fest la dimension de l’espace vectorielIm(f). CommeIm(f) a une famille ge´n´eratricea`n´le´nemes,stmidae´iritfnnoseneis`agaleou´eeuren.
Exercice 1.SoitEunR-espace vectoriel etfetgdeux endomorphismes deE. Soitg1la restriction deg`aIm(f). On a donc
g1:Im(f) x
7→
E g(x)
a) ExprimerKerg1en fonction deImfetKerg. b) ExprimerImg1en fonction deIm(gf). c) Montrer que
dim((Im(f)) +dim((Im(g))dim((Im(gof)) +dim(E).
Solution : a)Onales´equivalencessuivantes:
xKer(g1)
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
DoncKer(g1) =Im(f)Ker(g).
xIm(f) etg(x) = 0 xIm(f) etxKer(g) xKer(g)Im(f).
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