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Université Pierre et Marie Curie Paris VI

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Université Pierre et Marie Curie Paris VI Examen de l?UE LM125 Session de mai 2009: Corrigé Exercice 1 1. = 1 4a2 > 0 , a 2 [ 12 ; 12 ] , Qa a racines réelles. Donc Qa irreductible en R[X] , a 2 Rn[ 12 ; 1 2 ]. Comme dQa > 1, Qa n?est pas irréductible dans C[X] pour tout a 2 C. 2. a) Pa (X) = X4 2X3 + X2 + X3 2X2 + X + a2X2 2a2X + a2 = X2 2X + 1 X2 + X + a2 = (X 1)2 Qa: b) En R[X]: - si a 2 [ 12 ; 1 2 ] Pa (X) = (X 1)2 X 1 + p 1 4a2 2 ! X 1 p 1 4a2 2 ! (1) -si a 2 Rn[ 12 ; 1 2 ] Pa (X) = (X 1)2 X2 + X + a2 En C[X] Pa (X) = (X 1)2 X 1 + i p 4a2 1 2 ! X 1 i p 4a2 1 2 ! Remarque.

  • corrigé de l'exercice

  • examen de l?ue lm125

  • in?nité de racines

  • théorème du rang

  • dim im

  • racine réelle


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Université Pierre et Marie Curie Paris VI
ExamendelUELM125
Session de mai 2009:
Corrigé Exercice 1
2 11 1. = 14a>0,a2[;],QaDonca racines réelles.Qairreductible en 2 2 1 1 R[X],a2Rn[;]. 2 2 Commed Qa>1,Qanest pas irréductible dansC[X]pour touta2C. 2. a)
4 32 32 22 22 Pa(X) =X2X+X+X2X+X+a X2a X+a    2 2 22 =X2X+ 1X+X+a= (X1)Qa:
b) EnR[X]: 1 1 - sia2[;] 2 2  ! ! p p 2 2 211 +4a114a Pa(X) = (X1)XX2 2
1 1 -sia2Rn[;] 2 2
EnC[X]
  2 2 2 Pa(X) = (X1)X+X+a
 ! ! p p 2 2 21 +i4a11i4a1 Pa(X) = (X1)XX2 2
1 1 Remarque. Sia2[;]on retrouve (1). 2 2
(1)
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