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UNSA, DEA 2003/2004, Examen du 11 mars 2004. Repr´esentationsline´airesdesgroupessym´etriquesL’espace hermitien des fonctions centralesf: SnCtoe´sentR(Sn). Son P 1 produithermitienestde´nipar< f, g >=f(σ)g(σ). n!σSn Lesrepr´esentations(V, ρV) sont de dimension finie etρVnleai`gaiessfdo´ l’action de groupe SnGl(Vbeer)etlactiondalg`C[Sn]End(V), i.e. P P ρV(f(σ)σ) =f(σ)ρV(σ) :VV. σSnσSn Lecaracte`rede(V, ρVtes´otne)χVR(Snpartition). Chaqueλ`nd´eint λ λ unerepre´sentationirr´eductibleSpdedimensionf`ectracadeeterχλ. On notetrivn(resp.sgnn) leC-espace vectoriel de dimension 1 muni de l’action triviale (resp.signature) de Sn. Chaquepartition (λ1, . . . , λk)`n λ d´enitunsous-groupeSλ= Sλ1× ∙ ∙ ∙ ×Sλkde Snnote. OnM=C[Sn/Sλ] λ leC-espace vectoriel de base Sn/Sλde S. L’actionnsurMes´ddeuitpar lin´earite´delactiondeSnsur Sn/Sλese´rpernoitatnmueslPelerang´´eteou,t.nt pour laquelle il existe une baseEstable sous l’action de Snrestonaee´C[E] etappel´eepermutativeD.uerxpe´rsesnoitatneVetWsont ditesadjacentessi < χV, χW>= 1. I.Caract`eresirr´eductiblesetidempotentscentraux. P I.1.Montrerquun´el´ementx=fx(σ)σest central dansC[Sn] (i.e. σSn yC[Sn] :xy=yx) si et seulement sifxR(Sn). P I.2. Rappelerpourquoif=< χλ> χ, fλpour toutfR(Sn). En λ`n de´duirea`laidedeI.1quetout´el´ementcentralxC[Sn´s]irceoutsafslmeor P P x= (< χλ, fx> χλ(σ))σ. σSnλ`n λ ρderie.D)du´edEnSp( I.3. SoitxC[Sn] central.Montrer queSp(x)Sn λ ´edelatracequeT r(x) laline´arit(ρSp) =n!< χλ, fx>(On pourra utiliser que λ 1n! σ)). Conclurequ> id, f. χλ(σ) =χλ( eρSp(x) =λ< χλ xSp λ λ f 2 I.4. SoitxC[Sn] central et idempotent (i.e.x=xpose supp(). Onx) = {λ`n|ρ(x)6= 0}. Montrerqueρ(x) est soit l’application nulle soit λ λ Sp Sp P P λ f lidentit´e.D´eduiredeI.2etI.3quex= (χλ(σ))σ. Ex-σSnλsupp(x)n! plicitercetteformulepourlunit´edelalge`breC[Sn]. I.5.Montrerquetoutealge`breA`gladtiserbe,quiroduestpA=A1×A2, contient des idempotents centrauxe1, e2tels quee1+e2= 1 ete1e2= 0. Indication :posere1= (1A1,0A2) ete2= (0A1,1A2e´dnE.)equeduirC[Sn] P contient une famille d’idempotents centraux (eλ)λ`ntels queeλ= 1 et, λ`n siλ6=µ,eλeµ= 0 et supp(eλ) ={λ}. P λ f I.6.De´duiredeI.4etI.5laformuleeλ=χλ(σ)σles. Expliciter n!σSn idempotents centraux (eλ)λ`npourn= 2 etn= 3. II. Calcul deχ(n1,1). II.1.Montrerquelecaracte`redunerepr´esentationpermutativeC[E] se calcule par la formuleχC[E](σ) = card{eE|σ.e=e}, σSn.
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