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  Mardi 15 janvier 2002 Examen final MT 12 1ersemestre
 Une rédaction complète sera appréciée. Tous les résultats doivent être soigneusement justifiés. Comme dans tout document écrit, la présentation doit être irréprochable. Durée deux heures document autorisé : une feuille manuscrite aide mémoire recto Barème indicatif : PartieI: 4 + 5 + 3 PartieII et 6°) (2 pts) 1 point x 10 sauf 3°)  Les deux parties sont à rédiger sur des copies séparées   
1°)
  12 points)Partie I (sur On considère, pourαréel positif, les intégrales suivantes : Iα=XZYldxα: ex n x a) Pourα=1 l’intégrale est-elle convergente ? 1
b) Pourα≠1, déterminer une primitive de fα(x)=xlnαxlee irdudén  E. sed  savelruα pour lesquelles Iαest convergente. Effectuer le calcul pourα=2. c) Peut-on affirmer que si une fonction f continue et positive sur [a,+[ est telle qu’au voisinage de +, f=oGHF1JKI, alors l’intégraleaz convergente ?f (x) dx est x   2°) Soi 1d2i+ =0 1d2+xi=4x2 t les équations différentielles : (E0) x y 1 x y' y (E) y' xx2
a) Résoudre l’équation (E0). b) Déterminer quatre constantes, a, b, c et d telles que :   xx /1d4x22i=a+b2+c+d2 x21 x1 (x1)x+1 (x+1) c) En déduire la résolution de (E).   
3°) Soit la fonction f définie par f:(Rx,2y)aR=f (x, y)=x2+4 x y+y2 dont la représentation graphique z est une surface (Σ) dans R3. a) Calculer les dérivées partielles de f, et en déduire la différentielle df. b) Déterminer une équation du plan tangent à cette surface au point A(x = 1,y =2 , z = f(1,2)). c) Montrer que f est solution de l’équation : xf)yx(,yx,)y(f=2dx2y2 i xy