UTBM 2001 mt12 integration algebre lineaire fonctions de plusieurs variables tronc commun semestre 1 final

Description

Mardi 15 janvier 2002 erExamen final MT 12 1 semestre Une rédaction complète sera appréciée. Tous les résultats doivent être soigneusement justifiés. Comme dans tout document écrit, la présentation doit être irréprochable. Durée deux heures document autorisé : une feuille ...

Informations

• Publié par: shura
• Nombre de lectures: 199
• Langue: Français

Extrait

      

   Mardi 15 janvier 2002   Examen final MT 12 1 er semestre

  Une rédaction complète sera appréciée. Tous les résultats doivent être soigneusement justifiés. Comme dans tout document écrit, la présentation doit être irréprochable. Durée deux heures document autorisé : une feuille manuscrite aide mémoire recto Barème indicatif : Partie I : 4 + 5 + 3 Partie II  et 6°) (2 pts) 1 point x 10 sauf 3°)   Les deux parties sont à rédiger sur des copies séparées     

1°)

   12 points)Partie I (sur On considère, pourαréel positif, les intégrales suivantes : I α = X Z Y ∞ l dx α : e x n x a) Pourα=1 l’intégrale est-elle convergente ? 1

b) Pourα≠1, déterminer une primitive de f α (x)= xln α x lee irdudén  E. sed  savelruα pour lesquelles I α est convergente. Effectuer le calcul pourα=2. c) Peut-on affirmer que si une fonction f continue et positive sur [a,+∞[ est telle qu’au voisinage de +∞, f=o G H F 1 J K I , alors l’intégrale a ∞ z  convergente ?f (x) dx est x     2°) Soi  1 d − 2 i + =0 1− d 2 +x i = 4x 2  t les équations différentielles :  (E 0 ) x y  1  x y' y (E) y' x −x 2

a) Résoudre l’équation (E 0 ). b) Déterminer quatre constantes, a, b, c et d telles que :  ∀ xx /≠1 d 4x 2 2 i = a + b 2 + c + d 2   x 2 − 1 x−1 (x −1) x+1 (x +1) c) En déduire la résolution de (E).    

3°) Soit la fonction f définie par  f: ( R x, 2 y → )a R =f (x, y)=x 2 +4 x y+y 2  dont la représentation graphique z est une surface (Σ) dans R 3 . a) Calculer les dérivées partielles de f, et en déduire la différentielle df. b) Déterminer une équation du plan tangent à cette surface au point A(x = 1,y =−2 , z = f(1,−2)). c) Montrer que f est solution de l’équation : x ∂f )yx(, − y ∂ x,)y( f = 2 d x 2 − y 2   i ∂x∂y