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MT 26 FinalAutomne 04 Jeudi 20 janvier 2005 Matériel autorisé: une feuille aidemémoire A4 recto Les deux parties doivent être rédigées sur des copies séparées
I.Première partie(4 + 2 + 612 points =) 1°) Déterminerles domaines de convergence et les sommes des séries entières suivantes : 2 + nnn 1n S (x)=x S(x)=x å å 1 2 (n+1)! n+2 n³0 n³0 2°) Déterminerles domaines de convergence des séries entières suivantes (on ne demande pas la somme) : ¥ ¥ n 2n z (x+1) S=zÎC S=xÎR å ån 1 2 n+2 4 n=1 n=0 3°) Onconsidère les équations différentielles(E) xy"+2y'+x y=1 etx y"(E )+2y'+x y=et0 , 0 ¥ on cherche une solution Cet développable en série entière en 0 de (E) sur R. * *cos x = a) Montrerque y définiesur Rou sur R-est une solution de (E).par y 2 +20 x Pour la suite, on propose différentes méthodes de résolution. Vous traiterez, au choix,une des questions b), c) ou d). b) Déterminerune solution de (E), développable en série entière en 0. 0 En déduire la solution générale de (E) sur les intervalles I=]0, +¥[ ou I=]¥, 0[. 0 12 a Déterminer une solution de (E) de la forme y = x(aveca ÎR) ¥ En déduire la solution générale de (E) sur Iou I, puis les solutions Csur R. 1 2 c) Calculerles rayons de convergence et les sommes des séries entières p p (-1) (-1) 2 p2 p+1 S=Sx et=x . å å p i (2p+1)! (2p+2)! p³0 p³0 Déterminer les solutions développables en série entière (en 0) de l’équation (E). d) Choisissezvousmême une autre méthode de résolution.
II.Deuxième partie(12 points = 5 + 3 + 3)
cos xsur 0,p S 1°) Onconsidère la fonction f, périodique de période T = 2pf (x), définie par :=. | T 0 sur-p, 0 a) Représentergraphiquement la fonction f. Calculer les coefficients a, aet bdu développement de o 11 Fourier de f. b) Calculerles coefficients aet bdu développement de f. Écrire le développement de Fourier de f. n n La somme de Fourier estelle égale à la fonction f ?