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Utbm mt40Examen finalAutomne 2007 Nb: Onrédigera les exercices sur des feuilles séparées. On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.
Exercice 1 Le but de cet exercice est d’approximer la fonction logarithme népérien, notéeln, par différentes méthodes numériques. 1.1Polynôme d’interpolation a)Donner la forme de Newton du polynôme d’interpolation de la fonctionlnsur le support{1,2}. b)On considère la fonction erreure1, définie pare1(x) = ln(x)p(x). Étudier les variations dee1sur[1,2]. En déduire que l’erreur est maximale, en valeur absolue, pourx= 1/ln(2); donner la valeur maximale dee1sur[1,2]. 1.2Méthode du point milieu Pour la suite du problème on rappelle que la fonctionlnest définie par: x 1 ln(x) =dt t 1 Nb :On remarquera ici que la variable d’intégration esttet nonx; la variablex, elle, définit le segment d’intégration ! a)Montrer en utilisant la méthode d’intégration du point milieu, que : x 1x1 dt2 t x+ 1 1
b)Étudier les variations de la fonction erreureM, définie sur[1,2]pour cette méthode par : x1 eM(x) = ln(x)2. x+ 1
c)En déduire la valeur maximale deeMsur[1,2]. 1.3Intégration gaussienne x 1 Maintenant on cherche à évaluerln(x) =dtpar une intégration de Gauss-Legendre à deux points. 1t a)Montrer en précisant le changement de variable à réaliser que :   x1 1x1 dt=du t(x1)u+x+ 1 11
b)En déduire, en majorant l’erreur de méthodeeGcommise dans l’évaluation deI, que cette méthode 2 donne une approximation deln(x)à10près sur[1,2].
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