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Utbm mt40Examen médianAutomne 2007 Nb: Onrédigera les exercices sur des feuilles séparées. On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.
Exercice 1 L’objet de l’exercice est d’utiliser l’interpolation polynômiale à des fins de dérivation approchée. L’étude est menée ici dans un cas très particulier, dont plusieurs aspects peuvent être généralisés. Chebyschev a obtenu dans ce domaine des résultats remarquables ! Soitfune fonction polynôme quelconque de degré3, définie sur un intervalle[a, b]deRaveca < b. On considère un réeltquelconque de]a, b[. 1.1Interpolation sur le support{a, b, t} (a)Détermination du polynôme interpolateur Déterminer la fonction polynômep2qui interpolefsur{a, b, t}sans expliciter le calcul des dif-férences divisées intervenantes. Exemple 3 2 On donnefparf(x) =x+x+x+ 1,a=1,b= 1ett= 0. Trouverp2. Nb: Cesdonnées numériques seront réutilisées seulement dans la question 1.1(e) pour illustrer l’étude générale. (b)On considère la fonction erreur d’interpolatione, définie sur[a, b]par : e(x) =f(x)p2(x). Montrer queeest une fonction polynôme de degré3, dont le coefficient dominant est celui def. Il sera noté désormaisα. Montrer quees’annule pourx=a,x=betx=t. En déduire l’écriture dee(x), pour toutxde[a, b]. (c)Montrer que l’expression de l’erreur d’interpolation permet d’écrire : ′ ′ ′ x[a, b]f(x) =p(x) +e(x). 2 (d)Déduire de l’expresssion dee(x)obtenue en fin de question 1.1(b) que : e(t) =α(ta) (tb).
(e)Exemple ′ ′ ′Déterminerf(x),p(x), e(x)ete(t)pour les données numériques fournies dans l’exemple du 1.1(a). 2 1.2Utilisation pour la dérivation approchée Soitxun réel quelconque de[a, b]. (a)Quelle valeur approchée def(x)peut-on choisir ?Argumenter brièvement.Où rencontre-t-on la même idée sous mt40 ?. (b)On adopte la démarche retenue en (a) et on s’intéresse àE(t), valeur absolue de l’erreur de méthode ′ ′ commise en remplaçantf(t)parp(t). 2 Comment choisirtdans]a, b[pour queE(t)soit maximale ? Interpréter le résultat obtenu. .../...
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Exercice 2 L’objet de l’exercice est l’étude de quelques aspects de l’interpolation polynômiale conduisant à la produc-tion de logiciels de décomposition automatique en éléments simples. SoitndeNdonné. On considère, pour tout l’exercice, une famille{x0, ..., xn}den+ 1points distincts deR. 2.1SoitN, comme numérateur..., une fonction dePn, espace des fonctions polynômes de degré au plusn. On donneNpar: i∈ {0, ..., n}N(xi) =yi. Montrer, sans calculs, queN=pn, oùpndésigne le polynôme interpolateur deNsur le support{x0, ..., xn}. 2.2Outils techniques On considère la famille(li)des polynômes de Lagrange associés au support{x0, ..., xn}; on définit 0in Dpar: n D(x) =(xxj). j=0
(a)Pour toutide{0, ..., n}, montrer que: n D(xi) =(xixj). j= 0 j=i Nb: Onutilisera le nombre dérivé d’un produit den+ 1fonctions, généralisation du résultat suivant: ′ ′ ′ (x)u+u(x)u(x)u(x (u1u2u3) (x) =2(x)3 u1 2(x)u3(x)1 2 3) +u1(x)u u(x). (b)En déduire : D(x) i∈ {0, ..., n} ∀xR− {x0, ..., xn}li(x) = (xxi)D(xi) 2.3On notepnle polynôme, étudié sous 2.1, qui interpoleNen{x0, ..., xn}. Montrer qu’on peut écrire n pn(x)αi i∈ {0, ..., n} ∀xR− {x ,..., x}= 0n D(x) (xxi) i=0 On fournira , pour toutide{0, ..., n},αien fonction deyi=N(xi)et deD(xi). 2.4Intégration des résultats antérieurs On considère une fonction fraction rationnelle, notéeR, définie par : N(x) xR− {x0, ..., xn}R(x) =navecNPn. (xxj) j=0 (a)Utiliser la théorie antérieure pour fournir la décomposition deR(x)en éléments simples; on décrira, brièvement mais soigneusement, le plan de la méthode, en particulier les calculs intermédiaires néces-saires. (b)Applicationen éléments simples la fraction rationnelle: DécomposerRdonnée par : x+ 1 R(x) =. (x1) (x2) (x3) (c)Proposer brièvement une critique de la méthode suggérée. Quels types de fractions rationnelles, permet-elle et ne permet-elle pas de décomposer en éléments simples ?Idées de généralisation?
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