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Utbm mt40Examen médianAutomne 2007 Nb: Onrédigera les exercices sur des feuilles séparées. On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.
Exercice 1 L’objet de l’exercice est d’utiliser l’interpolation polynômiale à des fins de dérivation approchée. L’étude est menée ici dans un cas très particulier, dont plusieurs aspects peuvent être généralisés. Chebyschev a obtenu dans ce domaine des résultats remarquables ! Soitfune fonction polynôme quelconque de degré3, définie sur un intervalle[a, b]deRaveca < b. On considère un réeltquelconque de]a, b[. 1.1Interpolation sur le support{a, b, t} (a)Détermination du polynôme interpolateur Déterminer la fonction polynômep2qui interpolefsur{a, b, t}sans expliciter le calcul des dif-férences divisées intervenantes. Exemple 3 2 On donnefparf(x) =x+x+x+ 1,a=1,b= 1ett= 0. Trouverp2. Nb: Cesdonnées numériques seront réutilisées seulement dans la question 1.1(e) pour illustrer l’étude générale. (b)On considère la fonction erreur d’interpolatione, définie sur[a, b]par : e(x) =f(x)p2(x). Montrer queeest une fonction polynôme de degré3, dont le coefficient dominant est celui def. Il sera noté désormaisα. Montrer quees’annule pourx=a,x=betx=t. En déduire l’écriture dee(x), pour toutxde[a, b]. (c)Montrer que l’expression de l’erreur d’interpolation permet d’écrire : ′ ′ ′ x[a, b]f(x) =p(x) +e(x). 2 (d)Déduire de l’expresssion dee(x)obtenue en fin de question 1.1(b) que : e(t) =α(ta) (tb).
(e)Exemple ′ ′ ′Déterminerf(x),p(x), e(x)ete(t)pour les données numériques fournies dans l’exemple du 1.1(a). 2 1.2Utilisation pour la dérivation approchée Soitxun réel quelconque de[a, b]. (a)Quelle valeur approchée def(x)peut-on choisir ?Argumenter brièvement.Où rencontre-t-on la même idée sous mt40 ?. (b)On adopte la démarche retenue en (a) et on s’intéresse àE(t), valeur absolue de l’erreur de méthode ′ ′ commise en remplaçantf(t)parp(t). 2 Comment choisirtdans]a, b[pour queE(t)soit maximale ? Interpréter le résultat obtenu. .../...
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